אנליזה נומרית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אני עובד על שינוי כללי של הערך |
הרחבה, תרגום מאנגלית, הוספת פרק |
||
שורה 19:
למרות שאנליזה נומרית עושה שימוש [[אקסיומה|באקסיומות]], [[תאוריה|תאוריות]] [[הוכחה|והוכחות]] תאורטיות, היא יכולה להשתמש בתוצאות [[אמפיריות]] של חישובי מחשב על מנת לחקור שיטות חדשות ולנתח בעיות. בכך היא ייחודית בהשוואה לתחומי מתמטיקה אחרים.
==תחומי מחקר==
{| class="wikitable" style="float: left; width: 250px; clear: left; margin-left: 1em;"
|
דוגמאות לשימושים של אנליזה נומרית.
אינטרפולציה: נניח שגובה העץ היה מטר ביום ראשון ומטר ושני סנטימטר ביום שלישי, ע"י אינטרפולציה לינארית על הנתונים נוכל להסיק שגובהו היה מטר וסנטימטר ביום שני.
אקסטרפולציה: אם [[תוצר מקומי גולמי|התמ"ג]] של מדינה גדל בשיעור ממוצע של 5% לשנה, ושנה שעברה הוא עמד על 100 מיליארד נוסכל להסיק שהשנה הוא יעמוד על 105 מיליארד.
[[Image:Linear-regression.svg|left|80px|A line through 20 points]]
רגרסיה: ברגרסיה לינארית בהינתן n נקודות מחושב ישר שעובר קרוב ככל האפשר לנקודות הללו.
אופטימיזציה: נניח שחנות אופנה מוכרת חולצה במאה ש"ח וכל יום נמכרות 197 חולצות, ונניח שבעבור כל העלת מחיר של שקל תימכר חולצה אחת פחות (כלומר אם המחיר הוא 101 ש"ח אז ימכרו 196 חולצות). ע"י אופטימיזציה נוכל לחשב שהרווח המקסימלי יתקבל אם המחיר יהיה 148 ש"ח.
|}
===אינטרפולציה, אקסטרפולציה ורגרסיה===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[אינטרפולציה]], [[אקסטרפולציה]],[[רגרסיה (אנליזה)|רגרסיה]]}}
[[אינטרפולציה]] פותרת את הבעייה הבאה: בהינתן הערך של פונקציה לא ידועה בכמה נקודות, מהו הערך של הפונקציה בנקודה אחרת שנמצאת בין הנקודות הנתונות?
[[אקסטרפולציה]] מאוד דומה לאינטרפולציה, רק שהנקודה שאת ערכה רוצים לדעת היא מחוץ לתחום הנקודות הנתונות.
[[רגרסיה (אנליזה)|רגרסיה]] גם דומה, אולם ההנחה ברגרסיה היא שהנתונים לא מדוייקים בהכרח. בהינתן הערך של פונקציה לא ידועה בכמה נקודות (עם שגיאה), רגרסיה מאפשרת לחשב את הפונקציה המקורית.
===חישוב אינטגרלים===
{{הפניה לערך מורחב|ערך = [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים]]}}
בעוד שחלק מהאינטגרלים ניתן לחשב באמצעות שיטות אנליטיות הרי יש אינטגרלים אותם לא ניתן לחשב בצורה כזאת. לדוגמה לא קיים פתרון אנליטי לאינטגרל <math>\int\limits_{a}^{b} e^{-x^{2}}dx</math>, אולם למרות זאת הוא ניתן לחישוב בצורה נומרית.
שיטות נפוצות הן: [[נוסחאות ניוטון-קוטס]] (שמקרה פרטי שלה הוא [[שיטת הטרפז]]) שמחלקת את האורך לקטעים שווים , [[שיטת רומברג]] (שיטה העושה שימוש בשיטת הטרפז עם מרווחים לא קבועים), [[שיטת גאוס לאינטגרציה נומרית|שיטת גאוס]] ו[[שיטת מונטה קרלו]]. שיטות אלו גם מתחלקות לשיטות פתוחות (לא עושות שימוש בנקודות הקצה, אלא רק בנקודות פנימיות של התחום), ושיטות סגורות (עושות שימוש בכל הנקודות הנתונות).
===פתרון משוואות ומערכות משוואות===
בעיה בסיסית אחרת היא חישוב פתרון למשוואה נתונה. שני המקרים העיקריים הם משוואות לינאריות, ומשוואות לא לינאריות. לדוגמה <math>5x+6=11</math> היא משוואה לינארית, בעוד <math>3x^2-5=4</math> אינה לינארית.
מאמץ רב הושקע לאורך השנים בפיתוח שיטות לפתרון של מערכת משוואות לינאריות. שיטות ישירות כגון [[דירוג מטריצות|שיטת האלימינציה של גאוס]]. וכאלו שמתבססות על פירוק המטריצה כגון [[פירוק LU]], [[פירוק שולסקי]] כאשר המטריצה היא [[אופרטור הרמיטי|הרמיטית]] [[מטריצה חיובית|חיובית]] ו-[[פירוק QR]]. שיטות איטרטיביות כגון [[שיטת גאוס-זיידל]] מועדפות בדרך כלל כאשר מספר המשתנים גדול.
שיטות לפתרון משוואות לא לינאריות כוללות את [[שיטת ניוטון רפסון]], ובכדי לפתור מערכת משוואות לא לינארית קיימות שיטות כמו [[Gradient descent]].
===פתרון משוואות דיפרנציאליות===
אנליזה נומרית עוסקת גם בחישוב פתרונות (מקורבים) למשוואות דיפרנציאליות, בין אם המשוואה היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] ובין אם היא [[משוואה דיפרנציאלית חלקית]]. מכיוון שקיימים מקרים רבים בהם לא ניתן לפתור את המשוואה באופן אנליטי (למשל עבור בעיה של התפשטות קול בחדר מרובע, הוספת שולחן יוצרת בעיה שאינה פתירה באופן אנליטי).
שיטות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כוללות את [[אלמנטים סופיים|שיטת האלמנטים הסופיים]] ואת [[שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן]]. שתיהן עושות שימוש בחלוקת המרחב לקטעים קטנים בהתאם לדיוק הרצוי, כך שבין אזורים אלו ההבדלים בערך הפונקציה הנעלמת קטנים.
===אופטימיזציה===
{{הפניה לערך מורחב| ערך = [[אופטימיזציה (מתמטיקה)|אופטימיזציה]]}}
בעיות אופטימיזציה מבקשות למצוא את הנקודה שבא ערך הפונקציה יהיה מקסימלי (או מינימלי). בדרך כלל על הנקודה לקיים אילוצים שונים (לדוגמה להיות בתוך תחום מסוים).
בעיות אופטימיזציה ידועות הן לדוגמה [[תכנון ליניארי]] (כאשר פונקציית המטרה והאילוצים הם ליניאריים), [[תכנון לא-ליניארי]] (כאשר לפחות אחת מהפונקציות אינה ליניארית), [[אופטימיזציה קמורה]], תכנות בשלמים ועוד.
האלגוריתמים המוכרים ביותר לפתרון בעיות אופטימיזציה הם [[אלגוריתם הסימפלקס]] בעבור בעיות תכנון לינארי, [[Gradient descent]] למציאת מינימום של פונקציה ו[[שיטת פורד-פלקרסון]] (ומימושים יעילים שלה כגון אלגוריתם אדמונדס-קארפ ואלגוריתם דיניץ) בעבור בעיות זרימה.
==דוגמה==
| |||