הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב נורמלי באופן מושלם"

מ
בוט החלפות: מדויק;
מ (בוט החלפות: מדויק;)
== הגדרות ותכונות ==
 
מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי באופן מושלם, אם אפשר להפריד בו כל שתי קבוצות סגורות, במדוייקבמדויק, באמצעות פונקציה רציפה: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה <math>\ f:X\rightarrow \mathbb{R}</math>, כך ש- <math>\ f^{-1}(0)=A</math> ו- <math>\ f^{-1}(1)=B</math>. בהגדרה זו אפשר להחליף את הישר הממשי ב[[קטע]] <math>\ [0,1]</math>.
יש להבחין כי הפרדה זו חזקה יותר מן ההפרדה הרגילה באמצעות פונקציה, אותה מבטיחה [[הלמה של אוריסון]] בכל [[מרחב נורמלי]]. בפרט, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי.
 
== כל מרחב מטרי הוא <math>\ T_6</math> ==
 
הדוגמה החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שב[[מרחב מטרי]] <math>\ (X,d)</math> כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדוייקמדויק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.
 
נסמן ב- <math>\ d_A : X \rightarrow \mathbb{R}</math> את הפונקציה <math>\ d_A(x)=\inf_{a\in A}d(a,x)</math>, המחזירה את המרחק מן הקבוצה A. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון <math>\ |d_A(y)-d_A(x)|\leq d(x,y)</math>, ולכן היא [[פונקציה רציפה|רציפה]]. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A [[קבוצה סגורה|סגורה]] נובע ש- <math>\ d_A(x)=0</math> אם ורק אם <math>\ x\in A</math>. באופן דומה מגדירים את הפונקציה <math>\ d_B</math>.
 
מכיוון ש- A ו- B זרות, <math>\ d_A(x)+d_B(x)>0</math> לכל x. מכאן נובע שהפונקציה <math>\ f(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)} \quad </math> מוגדרת היטב ורציפה. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייקמדויק בין A ל- B.
 
== ראו גם ==
271,876

עריכות