אלגברה מדורגת – הבדלי גרסאות

אלגברה מדורגת היא אלגברה <math>\ A</math> שיש לה פירוק ל[[סכום ישר]] <math>\ A = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots</math> של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: <math>\ A_n A_m \subseteq A_{n+m}</math>. כל אחד מן המרכיבים <math>\ A_n</math> נקרא '''מרכיב הומוגני''', והאיברים של המרכיבים האלה הם '''איברים הומוגניים'''. כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות. ה'''דרגה''' של איבר הומוגני ב- <math>\ A_n</math> היא <math>n</math>. את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: <math>\ \deg(ab) = \deg(a)+\deg(b)</math> לכל שני איברים הומוגניים <math>a,b</math>.

הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא [[חוג הפולינומים|אלגברת הפולינומים]] מעל השדה, <math>\ A = F[x]</math>. האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר <math>\ A = \bigoplus_{n=0}^{\infty} F x^n</math>, כאשר <math>\ Fx^n = \{\alpha x^n \mid \alpha \in F \}</math> הוא אוסף ה[[מונום|מונומים]] ממעלה <math>n</math>. פונקציית הדרגה מתאימה ל[[מעלה של פולינום|פונקציית המעלה]] המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: <math>\ \deg(\alpha x^n) = n</math>.

את התיאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: <math>\ A = F[x_1,\dots,x_k]</math> מדורגת למרכיבים, כאשר <math>\ A_n</math> הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) <math>n</math>; למשל, כאשר <math>k=2</math>, <math>\ A_3 = F x_1^3+Fx_1^2x_2+Fx_1x_2^2+Fx_2^3</math>. כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם <math>f,g</math> שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה <math>fg</math> שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את <math>\ A=F[x,y]</math> באופן שהדרגה של <math>\ x</math> היא 2, והדרגה של <math>\ y</math> היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: <math>\ \deg(x^iy^j) = 2i+3j</math>). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא <math>\ A = F \oplus 0 \oplus F x \oplus Fy \oplus Fx^2 \oplus Fxy \oplus (Fx^3+Fy^2) \oplus \cdots</math>.

כל אלגברה <math>A</math> אפשר לדרג '''דירוג טריוויאלי''', אם בוחרים <math>\ A_0 = A</math> ו- <math>\ A_n = 0</math> לכל <math>\ n>0</math>. דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.

בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר '''אלגברה מדורגת ביחס ל-<math>M</math>''', כאשר '''<math>M</math>''' הוא [[מונואיד]] (בדרך-כלל דורשים שיהיה [[קומוטטיביות|קומוטטיבי]]), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר <math>\ A = \oplus_{g \in M} A_g</math>, כאשר <math>\ A_g A_h \subseteq A_{g+h}</math> בהתאם לפעולת החיבור במונואיד.

המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- <math>\ A = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> (אלו נקראות בדרך-כלל [[סופר-אלגברה|סופר-אלגברות]]), ודירוג ביחס ל[[חוג המספרים השלמים|חבורת המספרים השלמים]].

בדירוג ביחס לחבורה '''<math>G</math>''' מבחינים בין כמה סוגים: האלגברה '''מדורגת חזק''' (strongly graded) אם <math>\ A_g A_h = A_{g+h}</math> (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת [[מכפלה משולבת]] אם כל מרכיב הומוגני כולל [[איבר הפיך]]; הדירוג נקרא '''עדין''' אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).

לדוגמה, כל [[אלגברת חבורה]] <math>\ F[G]</math> מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה.

[[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] '''<math>I</math>''' של אלגברה מדורגת הוא '''אידיאל הומוגני''', אם הוא מתפרק לסכום ישר <math>\ I = \oplus (I \cap A_n)</math>; במלים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ A/I</math> הוא מדורג, <math>\ A/I = \oplus A_n/(I \cap A_n)</math>. לכל אידיאל ניתן להגדיר את '''הליבה ההומוגנית''' שלו בתור סכום האידיאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידיאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו.

מודול מדורג הוא '''פשוט''' אם אין לו תת-מודולים מדורגים פרט לטריוויאליים, ו'''פשוט למחצה''' אם הוא [[סכום ישר]] של פשוטים. תת-מודול מדורג <math>N \le_\ell M</math> הוא '''מקסימלי''' אם <math>M/N</math> הוא מדורג פשוט. ה[[תשתית (אלגברה)]] של מודול מדורג היא סכום תתי המודולים המדורגים הפשוטים שלו, ומסומנת <math>soc^{gr}(M)</math>. היא שווה לחיתוך כל תת-המודולים הגדולים, ומתקיים <math>soc(M) \subseteq soc^{gr}(M)</math>. כל מודול פשוט איזומורפי לתת-מודול מדורג של מודול מדורג כלשהו (מעל אותו החוג עם דירוג סופי).