פונקציה הפיכה – הבדלי גרסאות

תהי <math>\ f:A\to B </math> [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל]]. אז קיימת פונקציה <math>\ f^{-1}:B\to A </math> שנקראת ה'''הופכית''' שלה, כך שמתקיים:

:<math>\ \forall a\isin A:f^{-1}(f(a))=a \quad , \quad \forall b\isin B:f(f^{-1}(b))=b</math>.

לכל פונקציה הפיכה קיימת פונקציה הופכית יחידה, מה שמצדיק את השימוש בביטוי "'''ה'''הופכית". כמו כן, כל פונקציה הפוכה גם היא [[פונקציה חד חד ערכית ועל]]. הרכבת שתי פונקציות הפיכות מחזירה פונקציה הפיכה ולכן אוסף כל הפונקציות על קבוצה <math>A </math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] המכונה [[החבורה הסימטרית]] של <math>A </math>. אם קיימת פונקציה הפיכה מהקבוצה <math>A </math> אל הקבוצה <math>B </math> נאמר של-<math>A </math> ול-<math>B </math> יש את אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]. כיוון שקיום פונקציה הפיכה בין <math>A </math> ל-<math>B </math> מחייב קיום של פונקציה הפיכה בכיוון ההפוך וכן בגלל שהרכבת פונקציות הפיכות היא הפיכה - זהו [[יחס שקילות]].

יש לשים לב כי משתמשים בסימון <math>\ f^{-1}(A) </math> גם כדי לתאר את ה[[מקור (מתמטיקה)|מקור]] של קבוצה על ידי הפונקציה <math>\ f </math>, וסימון זה נהוג גם כאשר הפונקציה אינה הפיכה. כאשר הפונקציה היא הפיכה סימון זה מתלכד עם המשמעות שהוצגה כאן: המקור של קבוצה על ידי <math>\ f </math> הוא בדיוק תמונת אותה קבוצה על ידי <math>\ f^{-1} </math>.

* עבור הפונקציה הממשית <math>\ f(x)=x+1 </math> הפונקציה ההופכית היא <math>\ f^{-1}(x)=x-1 </math>. הפונקציה הראשונה "מזיזה" את הנקודה שהיא מקבלת ימינה, והפונקציה השנייה "מזיזה" אותה שמאלה בשיעור זהה.

*הפונקציה <math>\ f(x)=x^2 </math> אינה חד חד ערכית. למשל, <math>\ f(1)=f(-1)=1 </math>. למרות זאת רוצים להגדיר לה הופכית, ולכן מסתפקים בצמצום התחום של הפונקציה רק למספרים הלא שליליים. בתחום זה הפונקציה חד חד ערכית, וקיימת לה הופכית: <math>\ f^{-1}(x)=\sqrt{x} </math>.

*הפונקציה ההפוכה לפונקציית [[לוגריתם|הלוגריתם הטבעי]] <math>\ \ln(x) </math> היא פונקציית ה[[אקספוננט]]: <math>\ e^x </math>. מכיוון שפונקציית האקספוננט מחזירה ערכים חיוביים בלבד היא אינה פונקציה על כאשר מסתכלים על הטווח בתור [[הישר הממשי]] כולו, ולכן לא ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי על הישר הממשי כולו, והוא מוגדר רק עבור ערכים הגדולים מאפס.

*[[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות]] <math>\ \sin(x),\cos(x),\tan(x) </math> בהתאמה הן הפונקציות <math>\ \arcsin(x),\arccos(x),\arctan(x) </math> (שמסומנות לעיתים גם <math>\ \sin^{-1}(x),\cos^{-1}(x),\tan^{-1}(x) </math>). גם [[טריגונומטריה|הפונקציות הטריגונומטריות]] אינן חד חד ערכיות ולכן מצמצמים אותן לתחום שבו הן חד חד ערכיות על מנת להגדיר את ההופכיות.

*כל [[איזומורפיזם]] בין קבוצה <math>A </math> לקבוצה <math>B </math> הוא הפיך והפונקציה ההופכית לו היא איזומורפיזם מ-<math>B </math> ל-<math>A </math>.

הנגזרת של הפונקציה <math>\ f^{-1}(x)</math> ניתנת לחישוב על פי הנוסחה:

:<math>\ (f^{-1})'(y0y_0) = \frac{1}{f'(x0x_0)}</math> כאשר הנקודה שבודקים היא : <math>(x0x_0,y0y_0) </math>.

לדוגמה, עבור הפונקציה <math>\ f(x) = \sqrt{x}</math> נבחר נקודה <math>\ (b^{2},b)</math>. בפונקציה ההפיכה קיימת נקודה <math>\ (b,b^{2})</math>

כלומר: <math>\ f^{-1}(b) = b^{2}</math>

הנגזרת של <math>\ f(x)</math> בנקודה <math>\ x = b^{2}</math> היא

<math>\ f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{b^{2}}} = \frac{1}{2b} </math>

<math>\ \frac{1}{f'(x)} = 2b = (f^{-1})'(b)</math>

: <math>\ \frac{df^{-1}}{dx} |_{x=b} = \frac{1}{\frac{df}{dx}} |_{x = f^{-1}(b)}</math>