משפטי האיזומורפיזם – הבדלי גרסאות

:'''משפט:''' תהיינה <math>G,H</math> חבורות, ויהא <math>\varphi:G\rarr H</math> הומומורפיזם. אז מתקיים <math>G/\mbox{Ker}ker\left(\varphi\right)\cong \mbox{Im}\left(\varphi\right)</math>.

ניתן לפרש את [[משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות]] כהדגמה של משפט האיזומורפיזם הראשון, שכן [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] הם סוג של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]]. במקרה זה ה[[העתקה ליניארית|העתקה הליניארית]] <math>T:U\rightarrow V</math> היא הומומורפיזם בין החבורות <math>U</math> ו-<math>V</math>. בעוד שהגרעין <math>W\in U</math> והתמונה <math>S\in V</math> של הומומורפיזם זה מקבלים את המשמעות שלהם בהשאלה ממשמעותם באלגברה ליניארית. בהינתן תת-מרחב <math>W</math>, האיברים של חבורת המנה <math>U/W</math> (כלומר הקוסטים של <math>W</math> ב-''<math>U</math>'') הם בעצם כל המרחבים מממד זהה ש"[[ישרים מקבילים|מקבילים]]" ביחס אליו. לדוגמה, בהינתן מישור <math>\mathbb{R}^2</math> וכיוון בתוכו, הקוסטים המתאימים לו הם כל הישרים המקבילים לכיוון זה. כלומר, איברי חבורת המנה פועלים על קוסט הזהות ''<math>W</math>'' באותו אופן כמו הזזות (translations), ולפיכך מספר איברי חבורת המנה <math>U/W</math> הוא כמספר ההזזות בכיוונים שאינם מוכלים ב-''<math>W</math>''. עבור מרחבים וקטוריים מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]] ניתן לספור ישירות את מספר הכיוונים הללו, אולם במקרה האינסופי יש לדבר על ממדי המרחבים הללו. לפיכך: <math>\dim(U/W) = \dim U - \dim W</math>, בעוד שלפי משפט האיזומורפיזם הראשון מתקיים גם <math>\dim(U/W) = \dim (Im(T))</math>, ולכן

<math>\dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim U - \dim (Ker\ker(T))</math>.