גרף שרייר – הבדלי גרסאות

נניח ש-<math>G</math> החבורה החופשית. אז אפשר לראות שלאחר הסרת עץ פורש, לכל סדרת קשתות קיים הילוך יחיד שהולך דרכן בסדר ובכיוונים המתאימים (וזאת כיוון שיש רק דרך אחת לעבור מאחת לשנייה בעזרת קשתות מהעץ הפורש). זוהי הוכחה ל[[משפט נילסן-שרייר]], כיוון ש-<math>H</math> היא החבורה החופשית הנוצרת על ידי הקשתות שנותרו. יתרה מכך, מספרן הוא דרגת החבורה. מכאן אפשר לראות את דרגת החבורה <math>H</math> ב-<math>G</math> כאשר <math>[G:H]</math> סופי: בגרף היו תחילה <math>rk(G)\cdot [G:H]</math> קשתות (מספר הקודקודים כפול מספר הקשתות היוצאות מכל אחד) והורדנו <math>[G:H]</math> מהן. מכאן שנשארנו עם <math>rk(G)\cdot [G:H]-([G:H]-1)</math> קשתות, ולכן <math>rk(H)=rk(G)\cdot [G:H]-([G:H]-1)+1</math>.

 

בהינתן גרף שרייר, אפשר לבנות ממנו את "גרף הליבה" - איחוד כל המסלולים הסגורים מהשורש לעצמו שאינם כוללים "פניית פרסה" (מעבר על קשת ומיד מעבר נוסף בכיוון השני). אינטואיטיבית, גרף הליבה הוא הגרף שנותר לאחר שמסירים את העצים.