הבדלים בין גרסאות בדף "גז לא אידיאלי"

נוספו 2,436 בתים ,  לפני 6 חודשים
אין תקציר עריכה
התיאור הבסיסי של גז לא אידיאלי הוא משוואת המצב הויריאלית (virial equation of state), הנתונה באופן כללי על ידי:
 
<math>\frac{Pv/}{RT}=1+\frac{B\left(T\right)/}{v}+\frac{C\left(T\right)/}{v^2}+\ldots</math>
 
כאשר <math>\frac{Pv/}{RT}</math> הוא מקדם הקומפרסביליות (compressibility factor),<math>v</math> הוא הנפח המולרי, <math>B(T)</math> נקרא המקדם הויריאלי השני (second virial coefficient) ו-<math>C(T)</math> נקרא המקדם הויריאלי השלישי (third virial coefficient). ככל שצפיפות הגז גבוהה יותר, יש צורך במקדמים ויריאליים גבוהים יותר על מנת לתאר את התנהגות הגז במדויק.
 
=== משוואת המצב של גז לא אידיאלי: פיתוח באמצעות מכניקה סטטיסטית ===
בגז לא אידיאלי, האנרגיה של מצב מיקרוסקופי s נתונה על ידי:
 
<math>E_s=E_(s,id)+\phi(r_1,r_2,...,r_N)</math><br />כאשר <math>E_s,id</math> היא האנרגיה שהיתה למצב מיקרוסקופי לו הגז היה אידיאלי, ו-<math>\phi</math> היא [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] (האנרגיה כתוצאה מאינטראקציה בין החלקיקים).
 
פונקציית החלוקה הקנונית נתונה על ידי:
 
כאשר <math>\lambda</math> נקרא אקטיביות אבסולוטית (absolute activity), ושווה ל- <math>e^\frac{\mu}{kT}</math> . בנוסף, מתקיים:
 
<math>PV=kT\ln{\Xi}</math>
 
מהקשרים הללו מתקבל:
 
<math>\frac{PV}{kT}
=\ln{\left[\sum_{N=0}^{\infty}{\lambda^N\ Q(T,V,N)}\right]}
=\ln{\left[1+\sum_{N=1}^{\infty}{\lambda^N\ Q(T,V,N)}\right]}
=\ln{\left[1+\sum_{N=1}^{\infty}{\lambda^NQ_{id}(T,V,N)\frac{Q_N}{V^N}}\right]}
=\ln{\left[1+\sum_{N=1}^{\infty}{\lambda^N\frac{Z^N}{N!}\frac{Q_N}{V^N}}\right]}
=\ln{\left[1+\sum_{N=1}^{\infty}{\frac{Q_N}{N!}z^N}\right]}
</math>
 
כאשר השיוויון השני נובע מכך שמתקיים <math>Q=\frac{Z^N}{N!}
</math>, כאשר <math>Z
</math> היא פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד, לכן האיבר בסכום הנ"ל עבור <math>N=0
</math> הוא 1, ובשיוויון האחרון סומן <math>z\equiv\frac{\lambda Z}{V}
</math>.
 
באמצעות שימוש ב[[טור טיילור|פיתוח טיילור]] ללוגריתם מתקבל מהביטוי לעיל הקשר:
 
<math>\frac{P}{kT}=\frac{Q_1}{V}z+\frac{1}{2! V}\ \left(Q_2-Q_1^2\right)z^2+\frac{1}{3! V}\left(Q_3-3Q_1Q_2+2Q_1^3\right)z^3+\ldots\equiv\sum_{l=1}^{\infty}{b_lz^l}
</math>כאשר:
 
<math>b_1\equiv\frac{Q_1}{V}=\frac{1}{V}\int_{V}{d^3r}=1\ ;b_2\equiv\frac{Q_2-Q_1^2}{2! V}\ ;b_3\equiv\frac{Q_3-3Q_1Q_2+2Q_1^3}{3! V}
</math>
 
המקדם <math>b_l
</math> מכונה "אינטגרל מקבץ" (cluster integral).
 
על מנת לבטא את המקדמים הויריאליים, יש לבטא את הקומפרסביליות כטור חזקות של <math>\frac{1}{v}
</math>, כלומר יש למצוא קשר בין <math>z</math> ל- <math>v</math>. על מנת לעשות זאת, ניתן להשתמש בקשרים ידועים עבור האנסמבל הגרנד קנוני:<math>n(z)=\frac{N}{V}=\frac{\lambda}{V}\left(\frac{\partial\ln{\Xi}}{\partial\lambda}\right)_{T,V}=\frac{z}{V}\left(\frac{\partial\ln{\Xi}}{\partial z}\right)_{T,V}=\frac{z}{kT}\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right)_{T,V}=\sum_{l=1}^{\infty}{{lb}_lz^l}</math>כאשר במעבר האחרון השתמשנו בביטוי של <math>\frac{P}{kT}</math> כטור חזקות של <math>z</math>.
 
כדי למצוא את הקשר ההפוך -  כפונקציה של  - ניתן לכתוב את  כטור חזקות של  , ולמצוא את מקדמי הטור על ידי הצבה של  הנ"ל בביטוי ל- .
33

עריכות