משוואה דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

סידור
(סידור)
<math>(xy)'=\sin(x)</math>
 
<math>xy=\int\sin(x)dx \,\mathrm{d}x=-\cos(x)+C</math>
 
<math>y=\frac{-\cos(x)}{x}+\frac{C}{x}</math>
כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מסדר ראשון.
 
שיטה אחת היא, בדומה לדוגמה, למצוא פונקציה <math> \mu(x) </math> כך שכשנכפיל את כל המשוואה בה, נקבל באגף שמאל את הנגזרת של <math> \mu(x) y </math> ואז רק נשאר לבצע אינטגרציה על 2 האגפים ולקבל <math>\mu(x)y ={ \int q(x)\mu(x)dx\, \mathrm{d}x</math> ומשם לחלק ב- <math> \mu(x) </math> ולהגיע לפתרון. השאלה היא מהי אותה <math> \mu(x) </math>. {{ש}}
נראה כי אנחנו בעצם דורשים: <math>(\mu(x)y)'=\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y</math> (חיפשנו פונקציה שע"י כפל שלה במשוואה, נקבל את הנגזרת של (הפונקציה כפול y)){{ש}}
נראה כי <math>(\mu(x)y)'=\mu(x)y'+\mu'(x)y</math> ולכן בהכרח מתקיים <math>\mu'(x)=\mu(x)p(x)</math> ולכן <math>\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x)</math>. מכאן נגיע לתוצאות הבאות:{{ש}}
<math>(\ln(\mu(x))'=p(x)\Rightarrow \ln(\mu(x))=\int p(x)dx\, \mathrm{d}x\Rightarrow \mu(x)=e^{\int p(x)dx\, \mathrm{d}x}</math>
{{ש}}
ואכן, כפל המשוואה בפונקציה זאת, תמיד יגרום לנו לקבל באגף שמאל נגזרת של <math> \mu(x)y</math> וכל מה שנשאר לעשות זה אינטגרציה וחילוק ב- <math>\mu(x)</math>.
4,904

עריכות