מודל הרוכסן לשכפול DNA – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ סידור נוסחאות |
הרחבה |
||
שורה 60:
== מעבר פאזה ==
נשים לב כי אם נשרטט את הגרף של מספר החוליות הפתוחות הממוצע כפונקציה של <math>x</math>, נקבל תופעה מעניינת<ref>J. F. Nagle הראה במאמרו כי האנלוגיה החד מימדית של מודל "Slater KDP" מבצעת מעבר פאזה מסדר ראשון. פונקציית החלוקה של הרוכסן זהה לזו מהמאמר של Nagle.</ref><ref name=":0" />.
[[קובץ:גרף מספר חוליות פתוחות.png|מרכז|456x456px|טקסט=|ממוזער|מספר החוליות הממוצע כפונקציה של המשתנה חסר היחידות <math>x\equiv G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)</math>, עבור רוכסן עם <math>N=1000</math> חוליות.]]אפשר לראות עלייה חדה באזור <math>x\equiv x_c=1</math>. זה אזור שבו כאשר מעלים את הטמפטורה מעט (כשמגדילים את <math>x</math> מגדילים את <math>\tau</math> בלבד כי <math>G</math>,<math>\epsilon</math> קבועים), נפתחות הרבה מאוד חוליות ברוכסן וקצב הפתיחה גדל גם הוא. באזור זה מתרחש מעבר פאזה בין המצב של הרוכסן הסגור לבין המצב של שני קצוות הרוכסן הפתוחים.
=== אזורי <math>x</math> שונים ===
* <math>x=1</math>
כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של <math><n></math> מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור.
שורה 82 ⟵ 86:
</div>
כלומר סך הכל קיבלנו שעבור <math>N\longrightarrow\infin</math> ו- <math>\xi\ll1</math> השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא <math><n>\cong{1\over2}N</math>.
* <math>x\gg1</math>
עבור <math>x\gg1</math> , נוכל לראות שמתקיים:<div style="text-align: center;">
שורה 87 ⟵ 93:
<math><n>=\frac{N}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^N}-\frac{x}{x-1}\cong N\left(1+\left(\frac{1}{x}\right)^N\right)-\left(1+y\right)\approx N-\frac{x}{x-1}=\left(N-1\right)-\frac{1}{x-1}=\left(N-1\right)-{1\over \xi}</math>
</div>
כאשר מזניחים את האיבר <math>\left(\frac{1}{x}\right)^N\ll1</math>. כלומר <math><n></math> שואף מלמטה לחסמו העליון <math>N-1</math>.
* <math>x\ll1</math>
עבור <math>x\ll1</math>, נקבל כי האיבר <math>x^N\ll1</math> זניח ולכן:<div style="text-align: center;">
<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}+\frac{x}{1-x}\approx \frac{x}{1-x}</math>
</div>
ללא תלות ב-<math>N</math>.
=== טמפרטורת המעבר ===
שורה 102 ⟵ 116:
<math>\tau_c={\epsilon\over\ln G}</math>
</div>
תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד מימדי, משום שניתן לטעון כי הניוון <math>G</math> נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד מימדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד מימדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה<ref name=":0">{{צ-מאמר|מחבר=J. F. Nagle|שם=Proof of the First Order Phase Transition
in the Slater KDP Model|כתב עת=American Journal of Physics|שנת הוצאה=1968|כרך=36|עמ=1114}}</ref>. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד מימדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- '''Structural Unit''') חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד.
ניתן להראות גם כי באזור מעבר הפאזה מתקיים
== ראו גם ==▼
<math>\xi=\ln G\cdot\frac{\tau-\tau_c}{\tau_c}</math>
=== פתיחת כל החוליות ברוכסן ===
תופעה מעניינת היא קיום של מעבר פאזה כאשר כל החוליות ברוכסן פתוחות, כלומר <math>p=N-1</math>. הסיכוי למצב כזה:
<math>P\left(p=N-1\right)={x^{N-1}\over Z}=x^{N-1}\frac{1-x}{1-x^N}</math>
אנחנו קרובים לנקודת המעבר, לכן <math>\xi\ll1</math> ומתקיים <math>N\xi\ll1</math> ומקבלים:
<math>P\left(p=N-1\right)=\xi+{1\over N}\approx{1\over N}</math>
כלומר רוכסן אחד מכל <math>N</math> יהיה פתוח לגמרי בנקודת מעבר הפאזה. מעל נקודה זו, עבור <math>x^N\gg1</math> הסיכוי לרוכסן פתוח לחלוטין הוא
<math>P\left(p=N-1\right)\cong1-{1\over x}</math>
=== קיבול החום ===
הגדרת קיבול החום היא <math>C=k_B\tau\left(\frac{d\sigma}{d\tau}\right)</math>. באזור מעבר הפאזה האנטרופיה היא <math>\sigma\approx<n>\cdot\ln \left(\frac{G}{x_c}\right)=<n>\ln G</math>, ולכן קיבול החום באזור זה:
<math>C\approx k_B\tau_c\ln G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\tau}\right)\approx k_B\ln^2G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\xi}\right)</math>
ותחת ההנחה <math>N\xi\ll1</math> מתקבל הביטוי
<math>C\cong Nk_B\ln^2G\cdot\left({1\over 12}N+\ldots\right)</math>
כלומר קיבול החום לחוליה שואף לאינסוף כאשר <math>N\longrightarrow\infin</math> וזה מעבר פאזה מסדר ראשון.
▲== ראו גם ==
* [[שכפול DNA]]
* [[ביופיזיקה]]
* [[מעבר פאזה|מעברי פאזה]]
== קישורים חיצוניים ==
| |||