העתקת מביוס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד |
|||
שורה 54:
== העתקות מביוס כתנועות של הספירה של רימן ==
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|300px|left|המישור המרוכב וספירת רימן שמעליו.]]
את המישור המרוכב המורחב ניתן לזהות כ[[הטלה סטריאוגרפית|הטלה הסטריאוגרפית]] של הספירה של רימן; הנקודה "באינסוף" היא למעשה ההטלה של הנקודה דרכה מתבצעת ההטלה הסטריאוגרפית, על המישור המרוכב. תחת נקודת המבט הזו, העתקות מביוס ניתנות לזיהוי כתנועות של הספירה של רימן. המקרה של העתקת מביוס המייצג הזזה תואם לתנועה קווית (הזזה גם כן) של ספירת רימן. בנוסף, הספירה של
: <math>f(z) = \frac{\alpha z +\beta}{-\bar{\beta}z+\bar{\alpha}} = \frac{(a+bi) z +(c+di)}{-(c-di)z+(a-bi)}</math>
כאשר <math>|\alpha|^2+|\beta|^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1</math>. זוהי למעשה העתקת מביוס [[אוניטריות|אוניטרית]].
העתקות מביוס מסוג מתיחה/כיווץ (דהיינו <math>f(z) = kz</math> כאשר ''k'' ממשי ושונה מ-1) ניתנות לפירוש כהגדלה או כיווץ של ספירת רימן - כך שהמרחק מהראשית של ההיטלים של נקודות עליה מוגדל באותו יחס - ולא כתנועות שלה, ולפיכך אינן רלוונטיות לחלק זה.
=== זיהוי הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ===
שורה 78 ⟵ 80:
'''הוכחה''': נסמן את הפונקציה ההפוכה להטלה הסטריאוגרפית ב-<math>P(z) =S^{-1}(z)</math>, ונוכיח תחילה ש-<math>|f'(\gamma_1)| = 1</math>. בסביבה כדורית אינפיניטסימלית של
<math>P(\gamma_1)</math> שתי הקדם-תמונות של <math>z_1+dz</math> ו-<math>f(z_1+dz)</math> נמצאות במרחק שווה מאותו קוטב (הן באותו "[[קו רוחב]]") - ומכיוון שהן כמעט באותה נקודה (המרחק ביניהן שואף לאפס) פעולת ההטלה הסטריאוגרפית תמתח מרחקים זהים אלו באותה מידה - ולכן גודל השינוי האינפיניטסימלי ב-''z'' מתורגם לשינוי בעל גודל זהה של ''(f(z'', או במילים אחרות הערך המוחלט של הנגזרת המרוכבת בנקודת השבת הוא 1. כעת נוכיח ש-<math>f'(\gamma_1) = e^{i\epsilon}</math>. ההסבר לעובדה זו נעוץ בכך שההטלה הסטריאוגרפית, כמו העתקת מביוס, היא [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]] (משמרת זוויות בין עקומים). נסתכל על שני הקטעים הבאים במישור המרוכב: <math>[\gamma_1,\gamma_1+dz]</math> ו-<math>[\gamma_1,f(\gamma_1+dz)]</math>. שני קטעים אלו יוצרים ביניהם זווית <math>\epsilon</math>, וזאת משום שהם מהווים הטלה של משולש כדורי אשר קודקוד אחד שלו נמצא בקוטב של הסיבוב המגדיר את העתקת מביוס, קודקוד שני ב-<math>P(\gamma_1+dz)</math> וקודקוד שלישי ב-<math>P(f(\gamma_1+dz))</math>. הזווית הפולרית (הזווית בקודקוד הקוטבי) של המשולש הכדורי הזה היא לפי הגדרה <math>\epsilon</math>, ולכן מתכונת הקונפורמיות נובע שגם הזווית בין הקטעים היא <math>\epsilon</math>, ופירוש הדבר
כדי להמשיך בפיתוח, תחילה נמצא את <math>\gamma_1</math>:
שורה 93 ⟵ 95:
הגודל <math>cos\theta</math> הוא לא אחר מאשר <math>\eta_z</math>, ונזהה את ציר ''z'' עם הקווטרניון היסודי ''k''. בדומה לכך נקבל, שמכיוון שמתקיים
<math>\frac{\eta_{y}}{\eta_{x}} = -\frac{d}{c}</math>, וכמו כן <math>\eta_x^2 + \eta_y^2 + \eta_z^2 = 1</math>,
: <math>\hat{\eta} = (\frac{c}{\sqrt{1-a^2}},\frac{-d}{\sqrt{1-a^2}},\frac{-b}{\sqrt{1-a^2}})</math>
| |||