סדר חלקי – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|280px|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של <math>\{x, y, z\}</math> כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]. איבר המינימום הוא {<math> \mathcal{\emptyset}</math>} ואיבר המקסימום <math>\{x,y,z\}</math>]]

באופן כללי יכולים להיות שני איברים של <math>X</math> שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>a,b \in X</math> מתקיים <math>a \le b</math> או <math>\!\,b b\le a</math> אז קוראים ליחס <math>\!\, \le</math> '''סדר ליניארי''' (או '''[[סדר מלא]]'''), ולזוג <math>\!\, \left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.

* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\!\, \left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[ממשיים]].

*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] <math>|\mid</math> מוגדר כך ש-<math>m| \mid n</math> אם ורק אם <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math>. הקבוצה <math>\left(\mathbb{N},|\mid\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.

*יחס החלוקה אינו יחס סדר על ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] כי אינו אנטי-סימטרי: <math>1| \mid -1</math> וגם <math>-1| \mid 1</math> אף על פי ש-<math>-1\ne 1</math>.

איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' (איבר מזערי) אם לא קיים <math>\!\,b \isinin X</math> השונה ממנו כך ש -<math>\!\,b\le a</math>..

איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' (איבר מרבי) אם לא קיים <math>\!\,b \isinin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,a \le b</math>.

איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''מינימום''' (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל <math>\!\,b \isinin X</math> מתקיים <math>\!\,a \le b</math>.

איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''מקסימום''' (או לחלופין איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל <math>\!\,b \isinin X</math> מתקיים <math>\!\,b \leleq a</math>.

קבוצה סדורה ליניארית <math>\!\,\left(X,\le\right)</math> שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה של <math>\!\,X </math>, נקראת '''[[סדר טוב|קבוצה סדורה היטב]]'''.

כאשר מתקיים <math>

</math>, ואין <math>

</math> כך ש-<math>