הבדלים בין גרסאות בדף "קומפקטיפיקציה"

סידור
(סידור)
ב[[טופולוגיה]], קומפקטיפיקציה של [[מרחב טופולוגי]] היא [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] שלו בתוך [[מרחב קומפקטי]] באופן שהמרחב הראשון [[קבוצה צפופה|צפוף]] בשני. צעד זה מאפשר '''לֵהָנוֹת''' מהתכונות החזקות של המרחב הקומפקטי.
 
דוגמה: הקטע הסגור <math>[0,1]</math> מהווה קומפקטיפיקציה של הקטע הפתוח <math>(0,1)</math>, וגם של הישר הממשי כולו: בשני המקרים הקומפקטיפיקציה כוללת "המצאה" יש-מאין של נקודה חדשה, והדבקתה לשני הקצוות של המרחב הטופולוגי (קצוות "אמיתיים" במקרה הראשון, ו"מדומים" במקרה השני).
 
המתמטיקאי הרוסי [[פבל אלכסנדרוף|פבל אלכסנדרוב]] {{אנ|Pavel Alexandrov}} הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת (אשר לעיתים מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" על שמו). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה <math>G \cup \{\infty\}''G''&nbsp;<font face="Arial,Helvetica">U</fontmath> כאשר ''<math>G''</math> קבוצה פתוחה של ''<math>X''</math> ו ''-<math>X'' \setminus ''G''</math> קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את [[המישור המרוכב]] במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה [[שואף לאינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות ב[[התאמה חד-חד-ערכית]] ל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית <math>\theta</math> אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו <math>\theta</math>. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל[[מעגל היחידה]] הסגור.
כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את [[המישור המרוכב]] במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה [[שואף לאינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוף, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות ב[[התאמה חד-חד-ערכית]] ל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית t אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו t. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל[[מעגל היחידה]] הסגור.
 
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא [[השלמה של מרחב מטרי|השלמה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.
2,196

עריכות