אופרטור צמוד – הבדלי גרסאות

כאשר מוגדרת על <math>V</math> מכפלה פנימית, היא מאפשרת לזהות את <math>V</math> עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור <math>x</math> מותאם לפונקציונל <math>\ f_x :\colon y \rightarrow (y,x)</math>. נניח שגם על <math>W</math> מוגדרת מכפלה פנימית משלו, הקובעת זיהוי של <math>W</math> עם המרחב הדואלי שלו באותו אופן.

אם <math>\ T :\colon V \rightarrow W</math> העתקה ליניארית, אז מגדירים <math>\ T^* :\colon W \rightarrow V</math> כך שיתקיים, לכל <math>\ w \in W</math>, <math>\,f_{T^*w} = T^*f_w</math>; כלומר, לכל <math>\ v \in V</math>, <math>\,(v,T^*w) = f_{T^*w}(v) = T^*f_w(v) = f_w(Tv) = (Tv,w)</math>. כך מגדיר השוויון <math>\ (v,T^*w)=(Tv,w)</math> מגדיר את האופרטור החדש <math>\ T^* :\colon W \rightarrow V</math>.

במקרה של מכפלה פנימית [[אופרטור הרמיטי|הרמיטית]], כגון מכפלה פנימית מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] שבה מתקיים <math>\ (x,\alpha y) = \bar{\alpha}(x,y)</math>, הזיהוי של <math>V</math> עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: <math>\ (\alpha T)^* = \bar{\alpha}T^*</math>.

במקרה המיוחד בו <math>V = W</math>, הליניאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל <math>\ (ST)^*=T^*S^*</math>, הופכים את ההצמדה ל[[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] <math>\ \operatorname{End}(V)</math> (שאבריו הם כל ההעתקותהאופרטורים הליניאריותהליניאריים מ-<math>V</math> ל-<math>V</math>).

העתקהההעתקה צמודההצמודה (ידועאו גם כ- טרנספורמציההטרנספורמציה הצמודה ) היא [[העתקה ליניארית]] אשר מקיימת <math>\langle T u,v \rangle = \langle u,T^* v \rangle</math> והיא תואמת במשמעותה את ה[[מטריצה צמודה|מטריצה הצמודה.]]

<math>T^*</math> מוגדרת על ידי <math>T^*v = \sum_{k=1}^N \overline{\langle Tw_i,v \rangle} w_i</math>.

לכל אופרטור <math>\ T :\colon V \rightarrow V</math>, כאשר <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, יש משמעות להרכבות <math>\ TT^*, T^*T</math>, ששתיהן העתקות <math>\ V \rightarrow V</math>, ולכן אפשר להשוות ביניהן. אם <math>\ TT^* = T^*T</math> ההעתקה נקראת [[העתקה נורמלית|נורמלית]]. אם <math>\ TT^*</math> היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה [[העתקה אורתוגונלית|אורתוגונלית]]). אם <math>\ T^* = T</math> ההעתקה היא [[העתקה הרמיטית|הרמיטית]].

בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה ליניארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות: <math>\ (A^*)_{ij} = (\baroverline{a_A_{ji}})_{ij}</math>, כלומר יש מבצעים [[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] ואז הפעלתמפעילים את [[הצמוד המרוכב]].