הבדלים בין גרסאות בדף "הצגה ליניארית"

מ
בוט החלפות: לינארי;
מ (קישורים)
מ (בוט החלפות: לינארי;)
== שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות ==
 
באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math>, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \operatorname{GL}(V)</math> היא חבורת ה[[העתקה לינארית|העתקות הליניאריותהלינאריות]] ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math>. במקרה זה n נקרא '''ממד ההצגה'''.
 
מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על-ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.
== הצגות ואלגברת החבורה ==
 
יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין [[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>\ F[G]</math>, שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה <math>\ \operatorname{Hom}(V)</math> של העתקות ליניאריותלינאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל אלגברת החבורה (ולהיפך).
 
לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
271,876

עריכות