רציפות במידה אחידה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סידור |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) ביתר כלליות |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מתמטית]], '''רציפות במידה אחידה''' (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של [[פונקציה|פונקציות]] [[רציפות במידה שווה]] בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם <math>y</math> קרוב ל- <math>x</math> אז <math>f(y)</math> קרוב ל-<math>f(x)</math> לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.
נגדיר באופן פורמלי: יהי <math>X</math> מרחב טופולוגי ו-<math>(Y,d_Y)</math> מרחב מטרי. תהי <math>F \subseteq C(X,Y)</math> (כלומר קבוצה של פונקציות רציפות מ-<math>X</math> ל-<math>Y</math>).
:'''הגדרה''': משפחה <math>\mathcal{F} = \{f(x)\}</math> של פונקציות רציפות מ[[מרחב קומפקטי|מרחב מטרי קומפקטי]] <math> X </math> עם מטריקה <math> d </math> ל[[מרחב מטרי]] <math> Y </math> עם מטריקה <math> \rho </math> נקראת '''רציפה במידה אחידה''', אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> (התלוי ב-<math>\varepsilon </math> בלבד), כך שלכל <math>f \in \mathcal{F}</math> ולכל <math>x,y \in X</math>, אם <math>d(x,y) < \delta </math> אז <math>\rho(f(x),f(y)) < \varepsilon</math>.▼
# נאמר ש-<math>F</math> '''רציפה במידה אחידה ב-'''<math>x_0 \in X</math> אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת סביבה <math>N</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x \in N</math> ולכל <math>f \in F</math> מתקיים <math>d_Y(f(x),f(x_0)) < \varepsilon</math>.
# נאמר ש-<math>F</math> '''רציפה במידה אחידה''' אם היא רציפה במידה אחידה בכל <math>x_0 \in X</math>.
▲
תוצאה יסודית ב[[אנליזה פונקציונלית]] הנוגעת לתכונה זו היא [[משפט ארצלה-אסקולי|משפט ארצלה אסקולי]], הקובע שלקבוצה חסומה של [[פונקציה|פונקציות]] [[המספרים הממשיים|ממשי]]ות ו[[פונקציה רציפה|רציפות]] על קטע [[קומפקטיות|קומפקטי]] יש תת-סדרה המתכנסת במידה-שווה אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה. מסקנה מידית היא שאם קבוצה זו אינה רק חסומה אלא גם סגורה, אז היא קומפקטית אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.
| |||