משתנה מקרי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ עיצוב |
||
שורה 3:
המשתנים המקריים פותחים את הדלת הראשית של תורת ההסתברות לכלים מן האנליזה המתמטית. הם הופכים מרחב הסתברות, שבו כל מאורע נקודתי הוא ישות עצמאית, למערכת מתמטית שבה אפשר לחשב [[תוחלת|תוחלות]] או מדדים מספריים אחרים. כל המשפטים החשובים בתורת ההסתברות עוסקים במשתנים מקריים.
מבחינה פורמלית, המשתנה המקרי הוא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] [[פונקציה מדידה|מדידה]] ממרחב הסתברות <math>\Omega</math> ל[[מרחב מדיד]] כלשהו, בדרך כלל [[הישר הממשי|המספרים הממשיים]] עם [[סיגמא-אלגברה|ה-σ-אלגברה]] של [[קבוצת בורל|בורל]]. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא '''משתנה מקרי ממשי'''. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות <math>a<X<b</math>, כלומר <math>\{\omega \in \Omega : a<X(\omega)<b\}</math>. כאשר מרחב ההסתברות הוא [[מרחב מדיד בדיד|בדיד]], כל הפונקציות ממנו מדידות, ולכן כל פונקציה יכולה להיחשב משתנה מקרי.
תוצאה יחידה של משתנה מקרי נקראת [[מספר אקראי]].
שורה 11:
אם נתון משתנה מקרי <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> המוגדר על מרחב ההסתברות <math>(\Omega ,P)</math>, אפשר לשאול שאלות כמו "מה הסיכוי שהערך <math>X</math> גדול מ-2?". זו ההסתברות של המאורע <math>\left\{ \omega \in \Omega : X(\omega) > 2 \right\}</math> הנכתבת בקיצור <math>P(X > 2)</math>.
ההסתברויות של כל טווחי התוצאות של משתנה מקרי ממשי <math>X</math> נותנות את ה[[התפלגות]] של <math>X</math>. ההתפלגות "מתעלמת" ממרחב ההסתברות המסוים שמשמש בהגדרה של <math>X</math> ונותנת רק את ההסתברות של ערכים שונים של <math>X</math>. התפלגות כזו ניתנת להצגה תמיד בעזרת [[פונקציית
: <math>F_X(x) = P( X \le x)</math>
ולעיתים גם בעזרת [[פונקציית צפיפות הסתברות]] (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי [[תורת המידה]], אנו משתמשים במשתנה המקרי <math>X</math> כדי לדחוף ("push forward") את המידה <math>P</math> על <math>\Omega</math>, למידה <math>F</math> על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי <math>\Omega</math>, הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעיתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב <math>\Omega</math>, ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהיה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.
שורה 17:
== פונקציות של משתנים מקריים ==
אם נתון משתנה מקרי <math>X</math> על <math>\Omega</math>, ו[[פונקציה מדידה]] <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, אז <math>Y = f(X)</math> יהיה גם הוא משתנה מקרי על <math>\Omega</math>, כיוון שהרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. אותו תהליך שמאפשר לעבור ממרחב ההסתברות <math>(\Omega ,P)</math> ל-<math>(R ,dF_{x})</math> יכול לשמש לקבלת ההתפלגות של <math>Y</math>. פונקציית הצטברות ההסתברות של
: <math>F_Y(y) = \mbox{P}( f(X) \le y )</math>.
שורה 50:
התוחלת היא פונקציה ליניארית, אולם <math>\mbox{E}f(X)</math> אינו שווה בהכרח ל-<math>f(\mbox{E}X)</math> כאשר f פונקציה כללית יותר.
אחרי שמוצאים את "הערך הממוצע", אפשר לשאול עד כמה ערכי <math>
== התכנסות ==
שורה 62:
ישנם שני סוגים של משתנים מקריים בדידים:
#: <math>\sum_{x\in A}P(X=x) =1</math>.▼
#: <math>F(x)=\sum_{z\in A ,z \leq x}P(X=z)</math>.▼
#: <math>E[X]=\sum_{x\in A }P(X=x)x</math>.▼
#: דוגמאות של משפחות משתנים מסוג זה הן: משתנה מקרי [[התפלגות אחידה בדידה| אחיד בדיד]], [[התפלגות בינומית|בינומי]] [[התפלגות היפרגאומטרית|והיפרגאומטרי]].▼
#: במקרה כזה [[טור (מתמטיקה)|הטור]] <math>\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)</math> מתכנס וסכומו 1. פונקציית הצטברות ההסתברות מחושבת על ידי סכום הטור:▼
#: <math>F(x)=\sum_{i=1}^\infty I_{\{x_i\leq x\}}P(X=x_i)</math>▼
#: כאשר,▼
#: <math>I_{\{x_i\leq x\}}=\left\{\begin{matrix} 1&x_i\leq x\\0&x_i>x\end{matrix}\right.</math>▼
#: התוחלת ניתנת לחישוב באמצעות הטור הבא (בתנאי שהטור אכן מתכנס. אם הטור לא מתכנס התוחלת לא קיימת.)▼
#: <math>E[X]=\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)x_i</math>▼
#: דוגמאות של משפחות משתנים מקריים מהסוג הנידון הן: משתנה מקרי [[התפלגות גאומטרית| גאומטרי]], [[התפלגות
▲<math>\sum_{x\in A}P(X=x) =1</math>.
▲[[פונקציית הצטברות]] ההסתברות מחושבת על ידי:
▲<math>F(x)=\sum_{z\in A ,z \leq x}P(X=z)</math>.
▲[[תוחלת|התוחלת]] מחושבת על ידי:
▲<math>E[X]=\sum_{x\in A }P(X=x)x</math>.
▲דוגמאות של משפחות משתנים מסוג זה הן: משתנה מקרי [[התפלגות אחידה בדידה| אחיד בדיד]], [[התפלגות בינומית|בינומי]] [[התפלגות היפרגאומטרית|והיפרגאומטרי]].
▲2. משתנה מקרי <math>\ X : \Omega \to \mathbb{R}</math> שקבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל אינסופית [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]], <math>\ A=X\left(\Omega\right) =\{x_1,x_2,...\}</math>.
▲<math>\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)</math> מתכנס וסכומו 1. פונקציית הצטברות ההסתברות מחושבת על ידי סכום הטור:
▲<math>F(x)=\sum_{i=1}^\infty I_{\{x_i\leq x\}}P(X=x_i)</math>
▲כאשר,
▲<math>I_{\{x_i\leq x\}}=\left\{\begin{matrix} 1&x_i\leq x\\0&x_i>x\end{matrix}\right.</math>
▲התוחלת ניתנת לחישוב באמצעות הטור הבא (בתנאי שהטור אכן מתכנס. אם הטור לא מתכנס התוחלת לא קיימת.)
▲<math>E[X]=\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)x_i</math>
▲דוגמאות של משפחות משתנים מקריים מהסוג הנידון הן: משתנה מקרי [[התפלגות גאומטרית| גאומטרי]], [[התפלגות פואסונית|פואסוני]] [[התפלגות בינומית שלילית|ובינומי שלילי]].
=== דוגמה למשתנה מקרי בדיד ללא תוחלת ===
נניח שקיימים יצורים מסוג מסוים שההסתברות שיחיו לפחות שנה אחת היא חצי. ההסתברות שיחיו לפחות שנתיים היא שליש, וכן הלאה, ההסתברות שיחיו לפחות <math>n</math> שנים היא <math>1/(n+1)</math>. נבחר יצור כזה שרק נולד, ונגדיר כמשתנה מקרי <math>X</math> את מספר השנים השלמות שהיצור יזכה לחיות.
שורה 108 ⟵ 95:
==משתנה מקרי רציף==
בהינתן משתנה מקרי <math>
לכל קטע <math>(a,b)\subseteq \mathbb{R}</math>. משתנה זה יקרא משתנה מקרי רציף והפונקציה <math>f</math> תקרא [[פונקציית צפיפות ההסתברות]] של המשתנה המקרי. במקרה כזה התוחלת של המשתנה המקרי ניתנת לחישוב באמצעות ה[[אינטגרל לא אמיתי|
<math>E[X]=\int_{-\infty}^\infty x \ f(x)\, dx</math>
שורה 120 ⟵ 107:
===דוגמה למשתנה מקרי רציף ללא תוחלת===
נתון משתנה מקרי <math>
<math>F(x)=\left\{\begin{matrix} 0&x\leq 0\\1-\frac{1}{1+x}&x>0\end{matrix}\right.</math>.
שורה 133 ⟵ 120:
==משתנה מקרי דו-ממדי==
פונקציית הסתברות משותפת של '''משתנה מקרי דו ממדי''' (X,Y) מוגדר כ: <math>
== ראו גם ==
| |||