|
[[פונקציה פשוטה]] היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא [[קבוצה סופית]]. כל פונקציה פשוטה (שהמציינים שלה הן על [[קבוצה מדידה|קבוצות מדידות]]) היא [[פונקציה מדידה]].
תהי <math>\ f: \colon X \to \mathbb{R}</math> פונקציה פשוטה, כאשר <math>X</math> הוא תחום ההגדרה שלה. לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית <math>\ y \in \mboxoperatorname{Im}f</math> מתאימים את [[מידת לבג]] של הקבוצה <math>\ f^{-1}(y) \subset \mathbb{R}</math> (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה <math>\,f</math> בהם הוא <math>\,y</math>). אינטגרל לבג של <math>\,f</math> מוגדר להיות
:<math>\ L = \int_{E} f \,\mathrm{d}m = \sum_{y \in \mboxoperatorname{Im}f}{y \cdot m \left( f^{-1}(y) \cap E \right)} </math>
כאשר <math>\,E</math> היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של <math>\,f</math>. עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי. כך, כל עוד <math>\ m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) < \infty </math> ו-<math>\,f</math> מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס. במקרה בו <math>\ m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) = \infty </math> ו-<math>\ y=0</math> מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.
מכיוון ש-<math>\ f </math> מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אפשר להציגה כ-<math>\ f(x)= \sum_{k=1}^{n} y_k \cdot 1_{A_k}(x) </math>,כש-<math>y_k </math> הוא ערך שהפונקציה מקבלת, <math>\ A_k </math> הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו-<math>1_{A_k}(x) </math> הוא הסימון ל[[פונקציה מציינת]] של <math>A_k</math>. כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה <math>\ f </math> לפי המידה <math>\ m </math> יהיה <math>\int_{E} f \,\mathrm{d}m = \sum_{k=1}^{n} y_k \cdot m(A_k \cap E) </math>.
כש-<math>\ y_k </math> הוא ערך שהפונקציה מקבלת, <math>\ A_k </math> הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו-<math>\ 1_{A_k}(x) </math> הוא הסימון ל[[פונקציה מציינת]] של <math>\,A_k</math>. כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה <math>\ f </math> לפי המידה <math>\ m </math> יהיה <math>\ \int_{E} f \,\mathrm{d}m = \sum_{k=1}^{n} y_k \cdot m(A_k \cap E) </math>.
עבור [[פונקציה פשוטה]] רציפה למקוטעין, הגדרה זו מתלכדת עם אינטגרל רימן ומתקבלת אותה התוצאה. היתרון בגישה זו הוא שהשימוש ב[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] מתייחס לכל המלבנים שהם בעלי גובה <math>\ y_k </math> כמאוחדים למלבן אחד, שאורך בסיסו הוא <math>\ m(A_k \cap E) </math>. בפונקציה המקורית, מלבנים בעלי אותו גובה יכולים להיות מפוזרים לאורך כל תחום ההגדרה ולא להיות בדבוקה אחת. ניתן לפזר את המלבנים באופן שהגבול של אינטגרל רימן לא קיים עבורם. ברם, באינטגרל לבג, כאשר האורך הכולל של בסיסי כל המלבנים שגובהם הוא <math>\ y</math> מחושב באמצעות [[מידת לבג]] - מידת הפיזור איננה משנה, אלא רק המידה הכוללת. פונקציית המידה "חזקה" מאוד ויכולה לטפל בקבוצות פתולוגיות כגון [[קבוצת קנטור]], קבוצת כל המספרים ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליים]] וכדומה.
=== דוגמה: פונקציית דיריכלה ===
'''[[פונקציית דיריכלה]]''' היא פונקציה ב[[קטע]] <math>[0,1]</math> המוגדרת באופן הבא:
* <math>0</math> אם <math>x</math> הוא [[מספר רציונלי]]
* <math>a</math> אם <math>x</math> הוא [[מספר אי רציונלי]]
כלומר,
<center>
לפונקציה זו אין אינטגרל במובן רימן, שכן בכל קטע - לא משנה כמה קטן - תמיד קיימים גם מספרים רציונליים וגם מספרים אי-רציונליים ולכן לא ניתן להגדיר מלבנים כך שתמונת הפונקציה עליהם אחידה פחות או יותר. לכן, הגבול בהגדרת אינטגרל רימן אינו מתכנס.
לעומת זאת, חישוב אינטגרל לבג של פונקציית דיריכלה הוא מיידי. המידה של המספרים הרציונליים בקטע [0,1] היא [[מידה אפס|אפס]]. המידה של הקטע [0,1] היא 1. לכן המידה של קבוצת המספרים האי-רציונליים בקטע <math>[0,1]</math> היא 1. מכאן, לפי ההגדרה:
:<math>\ L = \int_{[0,1]} f \,\mathrm{d}m = 0 \cdot m( \mathbb{Q} ) + a \cdot m( [0,1] - \mathbb{Q} ) = 0 \cdot 0 + a \cdot 1 = a</math>.
=== הכללה לפונקציות מדידות אי-שליליות כלשהן ===
לפונקציות אלה, ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] איננה בהכרח סופית. ההכללה של אינטגרל לבג עבורן מתבצעת על ידי [[קירוב]] הפונקציה באמצעות [[סדרה מונוטונית]] של פונקציות פשוטות, חישוב האינטגרל עבור הפונקציות הפשוטות ומעבר ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] תוצאות האינטגרל. באופן פורמלי, בהינתן סדרת פונקציות פשוטות אי-שליליות <math>\ \phi_n</math> [[התכנסות במידה שווה|המתכנסת במידה שווה]] ובאופן [[מונוטוניות|מונוטוני]] ל-<math>\ f</math>, אינטגרל לבג על <math>\ f</math> יוגדרמוגדר להיות גבול האינטגרלים על סדרה זו.
הגדרה שקולה, אך פשוטה יותר ונוחה יותר: תהי <math>\ f: \colon X \to \mathbb{R}_{+}</math> [[פונקציה מדידה]] ואי-שלילית. נגדיר את אינטגרל לבג של <math>\ f</math> להיות <math>\ L = \int_{E} f \,\mathrm{d}m = \sup{ \left\{ \int_{E}{ \phi \,\mathrm{d} m} \ : \ \phi \le f \, \ \phi \ \mbox{is simple} \right\} }</math>.
=== הכללה לפונקציות מדידות כלשהן ===
| 