משפט הלמהולץ – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Wikiped201820 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
החלפות ( מאחר ש, ==== הוכחה למשפט הראשון: ====), ויקינתונים |
||
שורה 7:
'''משפט הלמהולץ השני:'''
[[אלמנט זורם|אלמנטי זורם]] שהיו חלק מקו ערבול ברגע מסוים בזרימה, יישארו על קו ערבול למשך כל הזרימה. במילים אחרות, קווי ערבול זזים ביחד עם הזורם.
'''משפט הלמהולץ השלישי:'''
שורה 24:
<math>\frac{dx/ds}{\omega_x}=\frac{dy/ds}{\omega_y}=\frac{dz/ds}{\omega_z}</math>
בזמן מסוים <math>t</math>.
אוסף קווי הערבול שעוברים דרך [[מסילה (מתמטיקה)|לולאה]] סגורה פשוטה <math>C</math> מגדיר '''צינור ערבול'''.
שורה 31:
== הוכחה ==
ההוכחות המובעות בסעיף זה מבוססות על משפט הסירקולציה של קלווין. מבחינה היסטורית ניתן להוכיח את משפטי הלמהולץ ללא שימוש במשפט הסירקולציה.
====
נסתכל במשטח פשוט מסוים <math>A</math> בזמן <math>t=t_0</math> הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:
<math>\Gamma = \oint_{\partial A} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{s}=\iint_A \omega\cdot \hat{n}dS=0</math>
כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת [[חוק סטוקס]] והשני נובע מכך שהזורם חסר ערבוליות.
לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר <math>t=t_1</math> מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס ה[[אינטגרל משטחי|אינטגרל המשטחי]] על המשטח מתאפס. מאחר
====
נסתכל במשטח פשוט מסוים <math>A</math> המהווה חלק ממשטח ערבול בזמן <math>t=t_0</math> הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:
<math>\Gamma = \oint_{\partial A} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{s}=\iint_A \omega\cdot \hat{n}dS=0</math>
שורה 49:
כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת [[חוק סטוקס]] והשני נובע מכך שהמשטח <math>A</math> הוא משטח ערבול ובפרט מקיים <math>\omega\cdot\hat{n}=0</math>.
לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר <math>t=t_1</math> מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס ה[[אינטגרל משטחי|אינטגרל המשטחי]] על המשטח מתאפס.
כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך של שני משטחי ערבול, ניתן לחזור על הטיעון הנל עבור משטח ערבול שני, המכיל את קו הערבול. לפיכך נקבל שבכל זמן מאוחר <math>t=t_1</math> קו הערבול המתקדם בזמן מהווה חיתוך של שני משטחי ערבול, ולפיכך הוא קו ערבול.
שורה 77:
<math>\Gamma= \iint_S \omega\cdot\hat{n}dS =\oint_{\partial S}\mathbf{u}\cdot d\ell</math>
לפי משפט הסירקולציה הגודל הזה אינו תלוי בזמן.
== שימושים ==
למשפט הלמהולץ שימושים רבים בהבנה ובתיאור של מערבולות, בפרט המשפט מאפשר להבין התפתחות של [[מערבולת קצה כנף]], תנועה של [[טורנדו]], ודעיכה של המערבולות הנוצרות לאחר ערבוב של כוס תה. המשפט גם מסביר את התפתחותם של [[טבעת מערבולת|טבעות מערבולת]].
== הערות שוליים ==
| |||