תבנית ריבועית – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''תבנית ריבועית''' היא תבנית מהצורה <math>\ Q(x) = b(x,x)</math>, כאשר <math>b</math> היא [[תבנית ביליניארית]]; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2</math> היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה <math> x^2+yx+3x</math> לא, משום שהאיבר האחרון, <math>3x</math> הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופעיות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי [[איזומורפיזם]]), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2 = 1</math>) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2 = 3</math>), והן מהוות נושא למחקר פורה.

יהי <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>. '''[[תבנית ביליניארית]]''' היא פונקציה <math>b: \colon V \times V \rightarrowto F</math> המהווה [[העתקה ליניארית]] בכל אחד מהרכיבים שלה. <math>(V,b)</math> נקרא '''מרחב ביליניארי'''. התבנית היא '''סימטרית''' אם <math> b(x,y)=b(y,x)</math> לכל <math>x,y \in V</math>.

'''תבנית ריבועית''' היא פונקציה המתקבלת מההצבה <math>\ Q(x) = b(x,x)</math> בתבנית ביליניארית <math>b</math>. תבנית כזו היא [[פולינום]] הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של <math>V</math>, הקרוי גם ה'''ממד''' התבנית. צורתה הכללית היא <math>q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}{a_{i,j}x_ix_j}</math>, עם <math>a_{i,j} \in F</math>. הזוג <math>(v,q)</math> נקרא '''מרחב ריבועי'''.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם '''[[איזומטריה|איזומטריים]]''' אם קיים איזומורפיזם של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], המשמר את התבנית.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-<math>\mathrm{Bil}</math> את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית <math>b</math>, לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי <math>\ q_b(x) = b(x,x)</math>, וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת <math>\ b(x,x) = 0</math> נקראת '''תבנית מתחלפת''' (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-<math>\mathrm{Alt}</math>. יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות <math>\mathrm{Quad}</math>, לבין מרחב המנה <math>\mathrm{Bil}/\mathrm{Alt}</math>. מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית <math>\ b_q(x,y) = q(x+y)-q(x)-q(y)</math>; זוהי העתקה מ-<math>\mathrm{Quad}</math> אל <math>\mathrm{Sym}</math> (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא <math>\ b_{q_b}(x,y) = b(x,y)+b(y,x)</math>.

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק <math>\ \operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}</math> (כאשר Sym הוא מרחב התבניות הסימטריות), וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: <math>\ \operatorname{Sym} = \operatorname{Alt} \oplus \operatorname{Diag}</math> (כאשר <math>\mathrm{Diag}</math> הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 <math>\ b_{q_b}(x,x) = 2b(x,x)=0</math>, התבנית <math>\ b_q</math> היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה <math>\ \operatorname{Quad} \rightarrowto \operatorname{Alt}</math> המוגדרת לפי <math>\ q \mapsto b_q</math> הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.