גבול של סדרה – הבדלי גרסאות

קבוצת המספרים שמרחקם מערך נתון <math>a</math> אינו עולה על גודל קבוע (כלשהו), נקראת '''[[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]]''' של <math>a</math>. בהקשר זה, מקובל להשתמש באות היוונית אפסילון ε(<math>\varepsilon</math>) כדי לייצג את רדיוס הסביבה. רדיוס הסביבה הוא [[מספרים חיוביים ושליליים|מספר חיובי]] (ε<math>\varepsilon > 0</math>), אשר יכול להיות קטן כרצוננו. סביבה זו כוללת את כל המספרים <math>x</math> המקיימים את התנאי <math>|x-a| < ε|\varepsilon</math>.

במסגרת מושגים אלו ניתן להגדיר את אברי הסדרה ה"קרובים" אל הגבול בצורה מדויקת יותר כנמצאים בסביבה של הגבול, כך שהמרחק של <math>\!\, a_n</math> מ- <math>L</math> יהיה קטן מ- ε.<math>\varepsilon</math>; כלומר: <math>\left|a_n-L\right| < \varepsilon</math>.

משום ש- ε<math>\varepsilon</math> יכול להיות קטן כרצוננו, על אברי הסדרה לענות על תנאי זה עבור כל ε<math>\varepsilon</math>. הסימון המתמטי של "לכל" הוא <math>\ \forall</math>. על כן, נכתוב את התנאי "לכל רדיוס סביבה חיובי אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול" בצורה הבאה: <math>\forall \varepsilon > 0,\, |a_n-L| < \varepsilon</math>.

עם זאת, משום שהגדרנו את אברי הסדרה כ"הולכים ומתקרבים" לגבול ולא כ"קרובים" אליו, אין צורך שכל אברי הסדרה יהיו בסביבת הגבול כדי לענות להגדרה זו. כלומר, מספיק ש'''כמעט כל האיברים''' יהיו בסביבת הגבול, החל מאיברממקום מסוים שאותו נהוג לסמן באות <math>N</math> גדולה או <math>\ N_0</math>. על כך יורחב בהמשך.

הגדרה מדויקת של מושג הגבול תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא איברמקום בסדרהמסוים המסומן באות <math>N</math> גדולה או <math>\ N_0</math>, שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים [[מספר טבעי]] <math>\N_0 = N_0(\varepsilon) \in \mathbb{N} </math> (שיכול להיות גדול מאוד, ותלוי בבחירה של <math>\varepsilon</math>), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול (הסימן של "קיים" הוא <math>\exists</math>). כיוון ש-<math>n \to \infty</math> עד <math>N_0</math> יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים. לכן אפשר לומר שעבור כל <math>\varepsilon</math>, [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט כל]] אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ-<math>\varepsilon</math> מהגבול - כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.

:'''הגדרה''': תהא <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]]. נאמר על הסדרה שהיא '''מתכנסת''' למספר הממשי <math>\!\,=L</math>, או ש-<math>\ L</math> הוא '''הגבול''' של הסדרה, ונסמן זאת <math>\lim_{n \to \infty}a_n=L</math> או בקיצור <math>\a_n a_n\to L</math> אם לכל מספר ממשי <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן כרצוננו) קיים [[מספר טבעי]] <math>\ N_0</math> כך שלכל <math>\ n</math> המקיים <math>\ n>N_{0}</math> מתקיים <math>\left|a_n-L\right| < \varepsilon</math>.

::<math> L = \lim_{n \to \infty} a_n \Longleftrightarrow iff
\forall \varepsilon > 0,\;, \exists NN_0 \in> 0,\mathbb{N}, \forall n >N N,\left, |a_n-L\right| < \varepsilon\; </math>

יש לשים לב שהאינדקס <math>\ N_0</math> תלוי ב - <math>\varepsilon</math>. ככל ש <math>\varepsilon</math> יהיה קטן יותר, <math>\ N_0</math> המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעיתים מסמנים <math>\ N_\varepsilon</math> במקוםאו <math> N_0(\varepsilon) </math> במקום <math>N_0</math> כדי להדגיש עובדה זו.

כמו כן, יש לזכור שהאינדקס <math>\ N_0</math> הוא מספר טבעי (<math>\ N_0 \in \mathbb{N} </math>). כלומר, על פי הגדרת הגבול עליו להיות [[מספר שלם]] חיובי. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל [[מספר ממשי]] חיובי שאינו שלם. במקרה זה האינדקס <math>\ N_0</math> יהיה [[פונקציית הערך השלם|הערך השלם העליון]] של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: <math>\lceil N \rceil</math>.

'''תנאי קושי''' הוא אפיון שקול לסדרהלכך שסדרה ממשית מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

:'''הגדרה''': תהא <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]]. נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן כרצוננו) קיים [[מספר טבעי]] <math>\ N_0</math> כך שלכל <math>\ m,n</math> המקיימים <math>\ m>N_{0},n \> n>N_{0}N_0</math> מתקיים <math>\left|a_n-a_m\right| < \varepsilon</math>.

אומרים שסדרה <math>\ a_n</math> '''שואפת לאינסוף''' (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי <math>\ M</math> קיים [[מספר טבעי]] <math>\ N_0</math> כך שלכל <math>\ n</math> המקיים <math>\ n >N_{0} N_0</math> מתקיים <math>\ a_n > M</math>. ההגדרה של '''שאיפה למינוס אינסוף''' דומה.

כך למשל סדרה כמו <math>\ 1,2,3,4,5,\ldots</math> שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה <math>\ 1,2,1,3,1,4\ldots</math> אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו.