שדה המספרים המרוכבים – הבדלי גרסאות

יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת [[המאה ה-16]], מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] הכינה אותם צדדים ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].

לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)</math>ואוסף כל הזוגות הוא המספרים המרוכבים.כי;{{ש}}הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות <math>i</math> משמעות אחרת, כגון [[זרם חשמלי|זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליףכתחליףa+bi=b(01).+(a0)=(ab)תכונות בסיסיות