סדר טוב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
החלפות (, ) |
||
שורה 17:
ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על מחלקת הסדרים. תכונות אלה מראות כי מחלקת הסדרים המלאים מסודרת [[סדר_מלא | בסדר מלא]], ביחס לפעולה <math> Q \le P </math> אם ורק אם <math> Q \cong P</math> או <math> Q \cong P_x </math>.
# '''אי-סימטריות:''' משפט [[משפט_קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור ברנשטיין]] חל גם על סדרים טובים, כלומר אם <math> (P
# '''השוואתיות:''' כל שני סדרים טובים ניתנים להשוואה, כלומר אם <math> (P
# '''רפלקסיביות:''' תכונה זו מתקיימת באופן [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] באמצעות [[פונקציית הזהות]].
# '''טרנזטיביות :''' לפי אופן הרכבת פונקציות איזומורפיות אם <math> (M
יותר מכך כל תת-קבוצה של מחלקת הסדרים מסודרת בסדר טוב, כלומר קיים איבר ראשון בסדר <math> \le </math> כפי שהוגדר לעיל.
== אפיון לקבוצה מסודרת היטב ==
'''טענה:''' <math> (Q
'''הוכחת כיוון ראשון :''' נניח ש-<math> Q </math> לא מסודרת היטב ונבנה סדרה אינסופית יורדת. <math> Q </math> לא מסודרת היטב פירושו שקיימת תת-קבוצה <math> P </math> לא ריקה שאין בה איבר ראשון, נבחר איבר <math>p_0</math>, האיבר <math>
p_0</math> הוא לא הראשון ולכן קיים <math>
p_1</math> כך ש <math>p_0 > p_1</math>, אבל גם <math>p_1</math> הוא לא האיבר הקטן ביותר בקבוצה ולכן קיים <math>p_2</math> כך ש
<math>p_0 > p_1 > p_2 </math> ונמשיך בבניה הזו לכל <math>p_n
'''הוכחת כיוון שני:''' נניח שקיימת סדרה אינסופית יורדת ונראה ש-<math> Q </math> לא מסודרת היטב. נגדיר קבוצה <math> P </math> שמכילה את כל אברי הסדרה היורדת ורק אותם, ולכן <math> P </math> היא מהצורה <math> P = \left\{p_0 > p_1 > p_2 > p_3 ...\right\}</math> ובתת קבוצה זו אין איבר ראשון, ולכן <math> Q </math> מכילה קבוצה שאין לה איבר ראשון ולכן <math> Q </math> לא מסודרת היטב.
| |||