שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
|||
שורה 7:
השדה הממשי הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[שדה סדור|סדור]]. ככזה, הוא [[שדה סדור שלם]]: לכל קבוצה לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] ו[[חסם מלעיל|חסומה מלעיל]] יש [[חסם עליון]] (תכונה זו מכונה לעיתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא [[מרחב מטרי שלם]] ביחס ל[[מטריקה]] המוגדרת על ידי ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], וגם שהוא [[שדה ארכימדי|ארכימדי]], תכונה המייחדת אותו בין כל השדות הסדורים השלמים.
[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת המספרים הממשיים מכונה [[עוצמת הרצף]], ונהוג לסמנה בסימונים <math>|\mathbb R|</math>, <math>\aleph</math>, <math>\mathfrak c</math> או <math>\beth_1</math>. [[גאורג קנטור]] הוכיח באמצעות שיטת [[האלכסון של קנטור]] כי עוצמת הרצף גדולה מעוצמת [[מספר טבעי|קבוצת המספרים הטבעיים]]
למעשה, היא שווה לעוצמת [[קבוצת החזקה]] של המספרים הטבעיים - <math> 2^{\aleph_0}=\beth_1</math> ===הוכחה===
נגדיר את הפונקציה <math>f:(0,1)\to\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> כך: המספר הממשי <math>x</math> ייוצג בכתיב עשרוני <math>0.x_0x_1x_2...</math>, ונקבל <math>f(x)=f(0.x_0x_1x_2...):=\{n:x_n=1\}</math>. זו פונקציה חד חד ערכית ועל, לכן <math>|(0,1)|=|\mathcal{P}(\mathbb{N}|=2^{\aleph_0}</math>. מכיוון ש<math>|\mathbb R|=|(0,1)|</math>, נקבל <math>\beth_1=|\mathbb R|=2^{\aleph_0}</math>
==היסטוריה ובנייה==
| |||