התפלגות פואסון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סימון |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 59:
כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור גבול של סדרת [[התפלגות בינומית|התפלגויות בינומיות]] שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, ותוחלת מספר ההצלחות נשארת קבועה.
נקבע פרמטר <math>\lambda</math>. לכל <math>n</math> טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב-<math>n</math> ניסויים בעלי הסתברות הצלחה <math>\frac{\lambda}{n}</math>, כלומר ההתפלגות <math>
אכן, <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n-k)!n^k}
אכן, <math>\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!n^k} =1</math> משום שזו מנה של פולינומים ב-n; <math>\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{n}=e^{-\lambda}</math> לפי תכונות ידועות של הקבוע [[e (קבוע מתמטי)|e]], ו-<math>\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{-k}=1</math> כי החזקה אינה תלויה ב-<math>n</math>, והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכן<math display="block">\begin{aligned}▼
\lim_{n \to \infty}
= 1 \dots 1
▲
\lim_{n\to\infty} P(X_n=k) &=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k} \\
&= \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
\end{aligned}</math>שהיא ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת <math>\lambda</math> יקבל את הערך <math>k</math>.
== תכונות ==
* '''[[פונקציה אדיטיבית|חיבוריות]]''' – סכום של משתנים מקריים [[אי תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] המתפלגים פואסונית אף הוא משתנה פואסון, והפרמטר שלו הוא סכום הפרמטרים של המשתנים המקריים המחוברים.
**למשל
**באופן כללי, אם <math>\{X_i\}_{i=1}^N</math> קבוצה של <math>N</math> משתנים בלתי תלויים, ולכל <math>i</math>, מתקיים כי <math>X_i\sim \mathrm{
==ראו גם==
| |||