שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי <math>q</math> מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה <math>\{q\}_{n=1}^\infty</math>.
 
את פעולות ה[[חיבור]] וה[[חיסורכפל]] נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
{{ש}}
<math>[\{x_n\}_{n=1}^\infty]+[\{y_n\}_{n=1}^\infty]:=[\{x_n+y_n\}_{n=1}^\infty]</math>
* [[טרנזיטיביות]]: יהו <math>r_1,r_2>0</math>, וכן <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r_1</math>, ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>y_n<z_n-r_2</math>. אז נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\},r=r_1+r_2</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>x_n<y_n-r_1<z_n-r_1-r_2=z_n-(r_1+r_2)=z_n-r</math>.
{{ש}}
ניתן לראותנראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה ל[[שדה סדור שלם]].:
 
נניח כי <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]<[\{y_n\}^\infty_{n=1}]</math>:
האקסיומה היחידה שאינה נובעת באופן מיידי היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים [[אינפימום וסופרמום|סופרמום]] (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
* לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r</math> ולכן גם <math>x_n+z_n<y_n+z_n-r</math> ובסה"כ <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]<[\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]</math>.
* נניח בנוסף כי <math>[\{z_n\}^\infty_{n=1}]>0</math> (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות <math>[\{0\}^\infty_{n=1}]</math>). לכל <math>n>N_1</math>, מתקיים <math>z_n-r_1>0\Rightarrow z_n>r_1\Rightarrow-z_n<-r_1</math> (ובפרט <math>z_n>0</math>), ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>x_nz_n<(y_n-r_2)z_n=y_nz_n-r_2z_n<y_nz_n-r_1r_2</math>. לכן <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]<[\{y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]</math>.
האקסיומההעובדה היחידה שאינההחסרה נובעתלנו באופןהיא מיידיה[[שדה היאסדור השלמותשלם|שלמות]], כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים [[אינפימום וסופרמום|סופרמום]] (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
{{ש}}
תהי <math>S</math> תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי <math>u</math>. נגדיר <math>u_1</math> כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-<math>u</math> (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-<math>S</math> אינה ריקה, קיים מספר רציונלי <math>l_1</math> שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי <math>S</math>. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם <math>a_n=\frac{u_n+l_n}{2}</math> חסם מלעיל אז <math>u_{n+1}=a_n</math> ו-<math>l_{n+1}=l_n</math>, אם הוא אינו חסם מלעיל אז <math>l_{n+1}=a_n</math> ו-<math>u_{n+1}=u_n</math>.
891

עריכות