אלגברת סי כוכב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
טופולוגיה לא קומוטטיבית |
|||
שורה 23:
משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ''A'' קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי ''X'' כך ש<math>\,A \cong C_0(X)</math>. נוסף על כך ניתן להוכיח שאם ''X'' ו''Y'' הם שני מרחבים טופולוגים אז ''X'' [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל''Y'' אם ורק אם האלגברה <math>\,C_0(X)</math> איזומורפית לאלגברה <math>\,C_0(Y)</math>. מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגים לא קומוטטיביים.
חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. ראוי לציין כי לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, [[תורת K]] של מרחבים טופולוגים נותנת אינווריאנטה אלגברית (ה[[חבורה|חבורות]] <math>\,K_0(X)</math> ו-<math>\,K_1(X)</math>) למרחבים טופולוגים על ידי שקילויות בין [[אגד וקטורי|אגדים וקטורים]] (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-''K'' לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות באלגבראות סי כוכב. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא '''הטלה''' אם הוא מקיים <math>\,a=a^2=a^*</math>.
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||