אלגברת סי כוכב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפת סדר פסקאות בשביל להשתמש באיבר 1 כאשר מדברים על חבורת K1 |
|||
שורה 13:
* אלגברת האופרטורים הליניארים החסומים מעל [[מרחב הילברט]] עם לקיחת [[צמוד הרמיטי]] היא אלגברת סי כוכב.
==איברים הפיכים וספקטרום של איבר==▼
בהינתן אלגברת סי כוכב ''A'', איבר הנייטרלי לכפל נקרא איבר יחידה ומסומן ב''1'' (ישנן אלגבראות סי כוכב ללא יחידה). איבר ''x'' נקרא '''הפיך''' אם קיים איבר ''y'' כך ש<math>\,xy=yx=1</math>. במקרה זה נאמר ש''y'' הוא ההופכי ל''x''.▼
אם ''A'' אלגברת סי כוכב עם יחידה, ו''a'' איבר ב''A'', הספקטרום של ''a'' (המסומן ב <math>\,\sigma(a)</math>) מוגדר להיות אוסף כל המספרים המרוכבים <math>\,\lambda</math> כך שהאיבר <math>a-\lambda \cdot 1</math> אינו הפיך. הספקטרום של איבר הוא תת קבוצה של המישור המרוכב. ניתן להוכיח כי הספקטרום אינו ריק, וכי הוא תת קבוצה קומפקטית של <math>\,\mathbb{C}</math>.▼
==אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות וטופולוגיה לא קומוטטיבית==
שורה 24 ⟵ 28:
חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. ראוי לציין כי לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, [[תורת K]] של מרחבים טופולוגים נותנת אינווריאנטה אלגברית (ה[[חבורה|חבורות]] <math>\,K_0(X)</math> ו-<math>\,K_1(X)</math>) למרחבים טופולוגים על ידי שקילויות בין [[אגד וקטורי|אגדים וקטורים]] (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-''K'' לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת <math>\,K_0</math>) או של איברים אוניטרים (במקרה של חבורת <math>\,K_1</math>) באלגבראות סי כוכב. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא '''הטלה''' אם הוא מקיים <math>\,a=a^2=a^*</math>. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא ''אוניטרי'' אם הוא מקיים <math>\,aa^* = a^*a = 1</math>.
▲==איברים הפיכים וספקטרום של איבר==
▲בהינתן אלגברת סי כוכב ''A'', איבר הנייטרלי לכפל נקרא איבר יחידה ומסומן ב''1'' (ישנן אלגבראות סי כוכב ללא יחידה). איבר ''x'' נקרא '''הפיך''' אם קיים איבר ''y'' כך ש<math>\,xy=yx=1</math>. במקרה זה נאמר ש''y'' הוא ההופכי ל''x''.
▲אם ''A'' אלגברת סי כוכב עם יחידה, ו''a'' איבר ב''A'', הספקטרום של ''a'' (המסומן ב <math>\,\sigma(a)</math>) מוגדר להיות אוסף כל המספרים המרוכבים <math>\,\lambda</math> כך שהאיבר <math>a-\lambda \cdot 1</math> אינו הפיך. הספקטרום של איבר הוא תת קבוצה של המישור המרוכב. ניתן להוכיח כי הספקטרום אינו ריק, וכי הוא תת קבוצה קומפקטית של <math>\,\mathbb{C}</math>.
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
| |||