מרכז (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

אם <math>G</math> היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת '''חסרת מרכז''' אם <math>Z(G)=\{e\}</math> (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות [[הקבוצה הריקה|ריק]]). סימון המרכז <math>\mathrm{Z}(G)</math> מגיע מהמילה ה[[גרמנית]] Zentrum שמשמעותה "מרכז".

נתבונן ב[[הומומורפיזם]] <math>\varphi</math> מהחבורה <math>G</math> ל[[חבורת האוטומורפיזמים]] שלה <math>\varphi : G \to \operatorname{Aut}(G)</math> המוגדר לפי <math>(\varphi(g))(h)=ghg^{-1}</math> (כלומר <math>\varphi(g)</math> הומומורפיזם [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] ב-<math>g</math>). [[גרעין (אלגברה)|הגרעין]] של ההעתקה, כלומר כל איברי <math>G</math> שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של <math>G</math>, והתמונה <math>\varphi(G)</math> היא חבורה הנקראת [[חבורת האוטומורפיזמים הפנימית]] של <math>G</math>, ומסומנת <math>\operatorname{Inn}(G)</math>. לפי [[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפט האיזומורפיזם הראשון]] <math>G/\mathrm{Z}(G) \cong \operatorname{Inn}(G)</math>. לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-<math>G^{\mathrm{ad}} = G/\mathrm{Z}(G)</math>.