|
כללים זה החיים
{{פירוש נוסף|נוכחי=פעולה בינארית}}
{{סימון מתמטי}}
'''כֶּפֶל''' הוא פעולה בין [[מספר]]ים, ובאופן כללי יותר [[פעולה בינארית]] על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מ[[ארבע פעולות החשבון]] (יחד עם [[חיבור]], [[חיסור]], ו[[חילוק]]). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי ל[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מרכזיים, כמו [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]].
[[קובץ:Three by Four.svg|ממוזער|205px|שמאל|3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.]]
כפל של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] הוא למעשה פעולת [[חיבור]] חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12\!\,</math>, ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. ב[[מערכת פאנו]] המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] בעזרת פעולת החיבור: <math>\ a\cdot 0 = 0</math>, ו- <math>\ a \cdot (b+1) = a\cdot b + a</math>.
את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל ל[[מערכת מספרים|מערכות מספרים]] גדולות יותר: ב[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] הכפל של השברים <math>\ \frac{a}{b}</math> ו- <math>\ \frac{c}{d}</math> הוא השבר <math>\ \frac{a\cdot c}{b \cdot d}</math>. ב[[שדה המספרים המרוכבים|מספרים המרוכבים]] הכפל נובע מן ה[[דיסטריבוטיביות]] ביחס לחיבור ומההנחה ש-<math>\ i\cdot i = -1</math> כי: <math>\ (a+bi)\cdot (c+di) = (a\cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i</math>.
ה[[שטח]] של [[מלבן]] מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר גם [[נפח]] של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.
ה[[מספר]]ים שמוכפלים נקראים "[[גורם|גורמים]]" או "מספרים נכפלים". באלגברה, המספר המכפיל [[משתנה]] (למשל 3 ב-3''xy''<sup>2</sup>) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא ה[[חילוק]]: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.
במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו [[חבורה למחצה]], [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] או [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.
==סימון ומונחים==
| 