מתנד הרמוני – הבדלי גרסאות

משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר שני, שכדי לפתור אותה, נכתוב את הפולינום האופייני של המערכת: <math>\lambda^2+ \omega^{2}_0 =0</math>. משוואת הפולינום האופייני תיפתר על ידי נוסחת השורשים, ושורשיה נתונים על ידי <math>\lambda=\pm \omega_0 i</math> כאשר <math>i</math> הוא היחידה המדומה. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית, יהיה מהצורה <math>x(t)=\alpha e^{\lambda_1 t}+\beta e^{\lambda_2 t}</math>. על ידי הצבת הפתרונות של הפולינום האופייני נקבל <math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}</math>. וכעת ישנה בעיה חדשה. הפתרון אינו פונקציה ממשית במלואה. כלומר, חלק מהפתרון מרוכב. העתק המסה הוא גודל ממשי לחלוטין, ולכן עלינו לקחת רק את החלק הממשי של הפתרון. לשם כך, נעזר ב[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
|נוסחת אוילר]] כדי לפשט את הפתרון:<math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}=\alpha (\cos(\omega_0 t)+i \sin(\omega_0 t))+\beta (\cos(\omega_0 t)-i \sin(\omega_0 t))=\alpha \cos(\omega_0 t)+\beta \cos(\omega_0 t)+\alpha i \sin(\omega_0 t)-\beta i \sin(\omega_0 t)=\cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)+i \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>כעת ניתן להפריד את החלק הממשי והחלק המדומה. נשים לב כי <math> \mathfrak{R} \mathfrak{e} \{x(t)\}= \cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)</math> ו<math> \mathfrak{I} \mathfrak{m} \{x(t)\}= \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>. כפי שאמרנו, ניקח רק את החלק הממשי. נגדיר <math> \alpha+\beta=A</math> ונכתוב את הפתרון אליו הגענו: <math> x(t)= A \cos (\omega_0 t)</math>. כדי להגיע לפתרון המלא אשר יתאר באופן יותר כללי ונרחב את המתנד ההרמוני, נוסיף הזזה אפשרית בתוך הפונקציה, ונאמר שהפתרון הכללי הוא <math> x(t)=A \cos(\omega_0 t+\phi)</math>.