שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 107:
לפני שניגש להגדרת הכפל, נראה שלכל מספר קיים נגדי: נגדיר את <math>-A=\{x-y|x<0\land y\in A^c\}</math>. נראה שמתקיים <math>A+(-A)=0</math>: יהי <math>a\in A+(-A)</math>. אז קיימים <math>x\in A,y<0,z\in A^c</math> כך ש-<math>x+y-z=a</math>. מתקיים <math>z>x</math>, ולכן <math>a=x+y-z<x+y-x=y<0</math>. לכן <math>A+(-A)\subseteq0</math>. יהי <math>a\in0</math>, אז מתקיים <math>a<0</math>. הקבוצה <math>A
</math> היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי <math>M\in \Q,M>0</math> כך שלכל <math>x\in A</math> מתקיים <math>x<M</math>. יהי <math>x<-M,x\in A</math> ונגדיר <math>z=-x>M</math>, כלומר <math>y\in A^c</math>, וכן נגדיר <math>y=a<0</math>. מתקיים <math>x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a</math>. קיבלנו ייצוג של a כ- <math>a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^c</math>, לכן <math>a\in A+(-A)</math>. סה"כ קיבלנו <math>A+(-A)=0</math>. מקומוטטיביות החיבור
כעת נגדיר את הכפל:
* עבור <math>A,B\ge0</math>, נגדיר <math>A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0</math>. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר <math>A\cdot B=-(A\cdot-B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot-B</math>.
נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה:
* סגירות:
:* חיבור: <math>A,B\not=\empty\Rightarrow\exist x\in A,y\in B\Rightarrow \exist z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not=\empty</math>. יהי <math>M_1,M_2\in\Q</math> כך שלכל <math>x\in A,y\in B</math> מתקיים <math>x<M_1,y<M_2</math>. נגדיר <math>M=M_1+M_2</math> ולכן לכל <math>z\in A+B</math> מתקיים <math>z=x+y<M_1+M_2=M</math>, לכן <math>A+B\not=\Q</math>. יהי <math>x\in A+B,y<x</math>. אז קיימים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש-<math>x=a+b</math>. נקבל <math>w:=x-y=a+b-y>0</math>. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-<math>\alpha:=a-\frac w2\in A\land\beta:=b-\frac w2\in B</math>. אז מתקיים <math>y=x-w=\alpha+\beta\in A+B</math>. לכל <math>x\in A</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>x<a</math>, וכן לגבי <math>B</math>. יהי <math>z=x+y\in A+B</math>. אז קיימים <math>a>x,b>y</math> בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים <math>c:=a+b\in A+B</math>, וכן <math>c>z</math>, לכן ל<math>A+B</math> אין מקסימום. לכן <math>A+B</math> הוא חתך.
:* כפל: נראה זאת כאשר <math>A,B\ge0</math>. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. <math>0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not=\empty</math>. נגדיר את <math>M_1,M_2</math> כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר <math>M=M_1\cdot M_2</math>. לכל <math>0<z=xy\in AB</math> מתקיים <math>z=xy<M_1M_2=M</math>. עבור <math>z\le0</math> שוב מתקיים <math>z<M</math>. לכן <math>AB\not=\Q</math>. נניח כי <math>0<y<x\in AB</math>. אז קיימים <math>a\in A\setminus0,b\in B\setminus0</math> כך ש-<math>x=ab</math>. מתקיים <math>w:=\frac xy>1</math>. נגדיר <math>\alpha=\frac aw<a</math> אז מתקיים <math>y=\alpha\cdot b\in A\cdot B</math>. לכל <math>x\in A</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>x<a</math>, וכן לגבי <math>B</math>. יהי <math>z=xy\in AB</math>.אז קיימים <math>a>x,b>y</math> בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים <math>c:=ab\in AB</math> וכן <math>c>z</math>, לכן ל<math>AB</math> אין מקסימום. לכן <math>AB</math> הוא חתך.
* [[אסוציאטיביות]]:
:* חיבור:
:* כפל:
* [[קומוטטיביות]]:
:* חיבור:
:* כפל:
* [[איבר האפס]]:
* [[איבר היחידה]]:
* [[איבר נגדי]]:
* [[איבר הופכי]]:
* [[דיסטריבוטיביות]]:
==קישורים חיצוניים==
| |||