ויקיפדיה

הטלה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ שוחזר מעריכות של 5.102.204.75 (שיחה) לעריכה האחרונה של Matanyabot
מ החלפות (, )
שורה 1:
'''הטלה''' ב[[אלגברה ליניארית]] היא סוג של [[העתקה ליניארית]] המפרקת [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים.
 
== דוגמה ==
נסתכל בווקטור ב-<math>\mathbb{R}^3</math> אותו אפשר לרשום בצורה
נסתכל בווקטור ב-<math>\mathbb{R}^3</math> אותו אפשר לרשום כ-<math>\ v = (v_x , v_y , v_z) = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}</math>, אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור <math>\hat{x}</math> תחזיר <math>P_x v = v_x \hat{x}</math>. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: <math>\ P^2_x v = P_x (v_x \hat{x}) = v_x \hat{x}</math> אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל <math>\ P_{yz} v = v_y \hat{y} + v_z \hat{z}</math>. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.
<math display="block">v = (v_x, v_y, v_z) = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}</math>
הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור <math>\hat{x}</math> תחזיר <math>P_x v = v_x \hat{x}</math>. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: <math>P^2_x v = P_x (v_x \hat{x}) = v_x \hat{x}</math>.
 
אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל <math>P_{yz} v = v_y \hat{y} + v_z \hat{z}</math>. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.
== הגדרה ==▼
 
▲== הגדרה ==
יהי <math>V</math> [[מרחב וקטורי]]
ותהי <math>P: V\rightarrow V</math> העתקה ליניארית. <math>\ P</math> תיקרא '''הטלה''' על תת-מרחב של <math>\ V</math>, אם <math>\ P^2 = P</math>. איבר באלגברה של ההעתקות הליניאריות מ -V לעצמו, המקיים <math>P^2 = P</math> נקרא [[איבר אידמפוטנטי]] (Idempotent).
 
באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תתיתת-מרחבמרחבים, <math>V= U\oplus W</math>, אזי לכל וקטור <math>v \in V</math> קיימים
<math>u \in U</math> ו- <math>w \in W</math> כך ששמתקיים <math>v=u+w</math>. נאמר שההעתקה הליניארית <math>E: V \to V</math> היא הטלה על <math>W</math> אם היא מקיימת <math>E(v)=w</math>.
 
ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית.: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.▼
 
▲ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.
 
==תכונות==
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי עם הטלות <math>E_1, E_2,... \dots, E_k</math> על תתיהתת-המרחבהמרחבים <math>W_1, W_2,... \dots, W_k</math> בהתאמה אזי לכל
<math>1\le i \le k</math>
מתקיים:
# <math>E_i^2=E_i</math>
# <math>E_iE_j=0</math> לכל <math>i \ne j</math>
# <math>ImE_i\operatorname{Im}E_i = W_i</math>
# <math>V=KerE_i\operatorname{Ker}E_i \oplus ImE_i\operatorname{Im}E_i</math>
# <math>E_i</math> ניתנת ל[[לכסון מטריצות|לכסון]], ו[[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] שלה הם 1 ו-0.
# יהיתהי <math>T: V \to V</math> העתקה ליניארית, אזי תתיהתת-המרחבמרחבים <math>W_i</math> הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם <math>TE_i=E_iT</math> (בהתאמה לתת-המרחב)
 
==שימושים==
 
ב[[טור פורייה|טורי פורייה]] מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]] (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).
 
ב[[תורת הקוונטים]], פעולת [[מדידה]] מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.
 
 
{{קצרמר|מתמטיקה}}
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/הטלה_(מתמטיקה)"