שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

* [[איבר האפס]]: נגדיר <math>0=\{x|x<0\}</math>. יהי <math>z=x+y\in A+0</math>, אז מתקיים <math>z<x\in A</math>, לכן <math>z\in A</math>. יהי <math>x\in A</math>, אז קיים <math>z>x</math> כך ש<math>z\in A</math>. נסמן <math>y=x-z<0</math>. מתקיים <math>x=z+y\in A+0</math>.
* [[איבר היחידה]]: נגדיר <math>1=\{x|x<1\}</math>. נראה כי <math>A\cdot1=\{ab|a\in A\setminus0\land 0\le b<1\}\cup0=A</math> כאשר <math>A\ge0</math>. המקרה השני נובע ממנו. יהי <math>x=ab\in A\cdot1</math>. אז מתקיים <math>x<a\in A</math>, לכן <math>x\in A</math>. יהי <math>x\in A</math>. קיים <math>y>x</math> כך ש<math>y\in A</math>. לכן <math>w:=\frac xy<1</math>, ולכן <math>x=yw\in A\cdot1</math>.
* [[איבר נגדי]]: הגדרנו כבר את <math>-A</math>, והראינו כי מתקיים <math>A+(-A)</math>.
* [[איבר נגדי]]:
* [[איבר הופכי]]: נגדיר <math>\forall A\ge0:A^{-1}=\left\{\frac xy\Bigg|x<1\land y\in A^c\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>. יהי <math>x\in A\cdot A^{-1}</math> כאשר <math>A\ge0</math>. אז קיימים <math>a\in A\setminus0,b<1,c\in A^c</math> כך ש<math>x=\frac{ab}{c}</math>. מכיוון ש<math>b<c</math>, נקבל <math>x=a\cdot\frac bc<a<1</math>, לכן <math>x\in1</math>.
* [[איבר הופכי]]:
* [[דיסטריבוטיביות]]:
 
884

עריכות