ויקיפדיה

משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הגהה
שורה 12:
==גרסאות של המשפט==
{{עריכה|סיבה=עלול להכיל שגיאות כתיב רבות|נושא=מתמטיקה|פסקה=כן}}
יהיו <math>a</math> ו- <math>m</math> שני [[מספר טבעי|מספרים טיבעייםטבעיים]] [[מספרים זרים|זרים]]. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:
{{ציטוט|יש [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] מהצורה <math>a+mk</math> כאשר <math>k</math> הוא [[מספר טבעי]].}}
כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא.
{{ציטוט|הטור <math>\sum_{p=a+mk\, -\,\, \text{ינושאר}} \frac1p</math> מתבדר.}}
המקרה <math>a=m=1</math> הוכח ע"י [[אוילר]] עוד [[המאה ה-18|במאה ה-18]]. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:
שורה 40:
! משפט
|-
| יהיו <math>m\in \N</math>, אז יש [[אינסוף]] ראשוניים שאינם [[שארית ריבועית|ריבוע מודולו]] - <math>m</math>.
|}
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''הוכחה'''| לא מוסתר=כן| תוכן=
שורה 49:
! משפט
|-
| יהיה <math>m\in \N</math>. אז יש אינסוף ראשוניים בסידרה החשבונית <math>1+m\N</math>
|}
הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:
שורה 55:
! למה
|-
| לכל <math>m>1</math> קיים [[פולינום]] <math>f</math> עם מקדמים שלמים ומקדם חופשי שווה ל-<math>1</math> כך שלכל <math>k</math> טבעי, כל מחלק ראשוני <math>p</math> של <math>f(k)</math> מקיים <math>p=1 \mod m</math>.
|}
הפולינום <math>f</math> הוא למעשה <math>x\mapsto \Phi_m(mx)</math> כאשר <math>\Phi_m</math> הוא [[הפולינום הציקלוטומי]] של <math>m</math>. הוכחת הלמה מתבסס על כלים של [[תורת המספרים האלגברית]], ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר <math>m =q</math> ראשוני.
שורה 110:
===שימוש במספרים מרוכבים===
{{ערך מורחב|מספר מרוכב}}
אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקצית זטא ארכים [[מספר מרוכב|מרוכבים]] של '''המשתנה''' <math>s</math> (עם [[חלק ממשי]] גדול מ-1) ואז להמשיך את [[פונקציית זטא של רימן]] ל[[פונקציה מרומורפית]] המוגדרת על [[המישור המרוכב]] כלו. זה הופך את פונקצית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]]. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת [[משפט המספרים הראשוניים]]. אולם רעיון זה הופיעה כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיעה בהכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מ[[אנליזה מרוכבת]], שוהכחתם לא פשוטה.
 
הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: [[פונקצית L של דרכלה|פונקציות <math>L</math> של דיריכלה]], שהן גרסאות של פונקצית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם '''ערכים''' מרוכבים גם כאשר '''המשתנה''' שלהם ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הרחכי, אפשר להחליף אתו בשימוש ב[[פונקציות טריגונומטריות]], אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.
 
===קרקטר דיריכלה===
שורה 123:
|-
|קרקטר דיריכלה עם נושא (condactor) <math>m</math> הוא פונקציה <math>\chi:\N\to \C</math> המקימת:
#לכל <math>n\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(n+m)=\chi(n)</math>
#לכל <math>n</math> זר ל-<math>m</math> מתקיים: <math> \chi(n)=0</math>
#לכל <math>n,k\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(nk)=\chi(n)\chi(k)</math>
#<math>\chi(1)=1</math>
|}
שורה 131:
<math display="block">L(s,\chi)=\prod_{p - \text{ינושאר}}\frac{1}{1-\frac{\chi(p)}{p^s}}</math>
מיכיון שקרקטר דיריכלה הוא [[פונקציה מחזורית]] (תנאי 1) ניתן לראות בו כפונקציה על ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הסופי <math>\Z|_m:=\Z/m\Z</math>. מכיון שהוא מתאפס על האברים הלא [[איבר הפיך|הפיכים]] בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראת בו כפונקציה על [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] בחוג זה. חבורה זאת נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-<math>\Z|_m^\times</math>. מנקדת מבט זאת קרקטר דיריכלה הוא [[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר כיפלי]] של החבורה <math>\Z|_m^\times</math>. קרי הומומורפיזם מחבורה זאת לחבורה <math>\C^ \times:=\C\smallsetminus \{0\} </math>.
אוסף כל קרקטרים של חבורה <math>G</math> נקרה [[דואליות פונטריאגין|החבורה הדואלית]] של <math>G</math> ומסומן ב-<math>\widehat G</math>. בהתאם אוסף כל קרקטרי דיריכלה מנושא <math>m</math> מסומן ב-<math>\widehat{\Z|_m^\times}</math>.
 
===התמרת פורייה דיסקרטית כיפלית===
שורה 158:
! למה
|-
|לכל חבורה סופית <math>G</math> ולכל <math>x\neq 1\in G</math> מתקיים:
<math display="block">\sum_{\chi\in \hat G}\chi(x)=0</math>
|}
שורה 167:
|לכל חבורה סופית <math>G</math> ולכל <math>x\neq 1\in G</math> קיים <math>\chi\in \hat G</math> כך שמתקיים: <math>\chi(g)\neq 1</math>.
|}
למה זאת נובעת בקלות משפט המיון ל[[חבורה אבלית נוצרת סופית]]. אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות ע"י הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלבנטי למשפט דירכלה <math>G=\Z|_m^\times</math> ניתן גם להוכיח אותה בעמצאות נתוח המבנה של החבורה <math>\Z|_m^\times</math> המבוסס על [[משפט השאריות הסיני]].
 
===רדוקציה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקצית <math>L</math> של דיריכלה===
שורה 173:
משפט דירכלה נובע מהטענה הבאה:
<math display="block">P(1,\Phi_{a,m})=\infty.</math>
כאשר <math>\Phi_{a,m}</math> היא הפונקציה האופינית שהוגדרה [[#התמרת פורייה דיסקרטית כיפלית|מעלה]]
מאידך <math display="block">P(s,\Phi_{a,m})=\frac{1}{\varphi(m)} \sum_{\chi\in \hat \Z|_m^{\times}} \bar \chi (a)P(s,\chi).</math>
באופן דומה להסבר [[#מכפלת אוילר|מעלה]], מכאן, ניתן להסיק ש:
שורה 190:
{{ערך מורחב|מבחן דיריכלה}}
נקבע קרקטר לא טריביאלי <math>\chi</math> בעל מחזור <math>m</math>.
ההיתכנסות (בתנאי) של הטור <math display="block">L(1,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n}=\lim_{s\to 1} L(s,\chi).</math> היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משפט_דיריכלה"