ויקיפדיה

משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הגהה
מ הגהה
שורה 14:
יהיו <math>a</math> ו- <math>m</math> שני [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] [[מספרים זרים|זרים]]. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:
{{ציטוט|יש [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] מהצורה <math>a+mk</math> כאשר <math>k</math> הוא [[מספר טבעי]].}}
כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא.:
{{ציטוט|הטור <math>\sum_{p=a+mk\, -\,\, \text{ינושאר}} \frac1p</math> מתבדר.}}
המקרה <math>a=m=1</math> הוכח ע"י [[אוילר]] עוד [[המאה ה-18|במאה ה-18]]. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:
שורה 167:
|לכל חבורה סופית <math>G</math> ולכל <math>x\neq 1\in G</math> קיים <math>\chi\in \hat G</math> כך שמתקיים: <math>\chi(g)\neq 1</math>.
|}
למה זאת נובעת בקלות משפט המיון ל[[חבורה אבלית נוצרת סופית]]. אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות ע"י הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלבנטי למשפט דירכלהדיריכלה <math>G=\Z|_m^\times</math> ניתן גם להוכיח אותה בעמצאות נתוח המבנה של החבורה <math>\Z|_m^\times</math> המבוסס על [[משפט השאריות הסיני]].
 
===רדוקציה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקצית <math>L</math> של דיריכלה===
עבור פונקציה חסומה <math>f:\N \to \C</math> נסמן <math display="block">P(s,f)=\sum_{p - \text{ינושאר}} \frac{f(p)}{p^s}</math>
משפט דירכלהדיריכלה נובע מהטענה הבאה:
<math display="block">P(1,\Phi_{a,m})=\infty.</math>
כאשר <math>\Phi_{a,m}</math> היא הפונקציה האופינית שהוגדרה [[#התמרת פורייה דיסקרטית כיפלית|מעלה]]
שורה 201:
! משפט
|-
| עבור כל קרקטר דירכלהדיריכלה לא טריביאלי <math>\chi</math> מתקיים:
<math display="block">L(1,\chi)\neq 0</math>
|}
משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דירכלהדיריכלה:
בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דירכלהדיריכלה אינינו טריביאלי כלל, משפט זה כל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי <math>\sum_{n=1}^N \frac{\chi(n)}{n}</math> עד ל <math>N</math> גדול מספיק כך שהערכה לשגיה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהעדר חסם מלרע לערך של פונקצית <math>L</math> ב -1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהחרך יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.
 
מיכיון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם נושא (codactor) נתון, טעון זה מאפשר להוכיח את משפט דירכלהדיריכלה עבור כל נושא נתון בעמצאות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצעה את החישוב עד ערכי <math>m</math> גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי <math>m</math> שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זאת.
 
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''חישוב מפורש של <math>L(1,\chi)</math>'''| תוכן=דיריכלה אף פיתח נוסחה ל - <math>L(1,\chi)</math> המציגה אותו כסכום סופי:
דיריכלה אף פיתח נוסחה ל - <math>L(1,\chi)</math> המציגה אותו כסכום סופי:
<math display="block">L(1,\chi)=-\frac{1}{m}\sum_{k=1}^{m-1} \ln(1-e^{2\pi i k/m})\sum_{l=1}^{m}\chi(l)e^{2\pi i kl/m}</math>
פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של <math>\chi</math> לקומבינציה של קרקטרים אדדיתביםאדיטביים באבצאותבאמצעות התמרת פוריה אדדיתיביתאדיטיבית. זאת אומרת פרוק של <math>\chi</math> ל[[קומבינציה לינארית]] של פונקציות מחזוריות <math>\psi_i</math> המקימות <math>\psi_i(k+l)=\psi_i(k)\psi_i(l)</math>. מקדמי פרוק זה הם [[סכומי גאוס]] המהווים סכומים סופיים. נותר לחשב את טורי דיריכלה <math>L(1,\psi_i)</math>. בעמצאותבאמצעות
[[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]] קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה.
אומנם הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה להוכיח את המשפט עובורעבור נושא נתון, היא לא מקלה על הוכחת המשפט במקרה הכללי, וההוכחות המקובלות למשפט דיריכלה לא משתמשות בה. אם זאת הנוסחה שימושית מאוד מתורתבתורת המספרים, לדוגמה לצורך חישוב [[מספר מחלקה|מספרי מחלקה]].}}▼
 
▲אומנם הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה להוכיח את המשפט עובור נושא נתון, היא לא מקלה על הוכחת המשפט במקרה הכללי, וההוכחות המקובלות למשפט דיריכלה לא משתמשות בה. אם זאת הנוסחה שימושית מאוד מתורת המספרים, לדוגמה לצורך חישוב [[מספר מחלקה|מספרי מחלקה]].
}}
 
===המקרה הלא ממשי===
שורה 224 ⟵ 221:
===הוכחות אנליטיות===
===הוכחות אלגבריות===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[נוסחת מיספרמספר המחלקה של דירכלה]], [[נוסחת מיספרמספר המחלקה של דדקינד]]}}
 
==הכללות והשפעה==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משפט_דיריכלה"