משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

הפולינום <math>f</math> הוא למעשה <math>x\mapsto \Phi_m(mx)</math> כאשר <math>\Phi_m</math> הוא [[הפולינום הציקלוטומי]] של <math>m</math>. הוכחת הלמה מתבססמתבססת על כלים של [[תורת המספרים האלגברית]], ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר <math>m =q</math> ראשוני.

אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקצית זטא ארכיםערכים [[מספר מרוכב|מרוכבים]] של '''המשתנה''' <math>s</math> (עם [[חלק ממשי]] גדול מ-1) ואז להמשיך את [[פונקציית זטא של רימן]] ל[[פונקציה מרומורפית]] המוגדרת על [[המישור המרוכב]] כלו. זה הופך את פונקצית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]]. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת [[משפט המספרים הראשוניים]]. אולם רעיון זה הופיעההופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיעהמופיע בהכחהבהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מ[[אנליזה מרוכבת]], שוהכחתם לא פשוטה.

הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: [[פונקצית L של דרכלהדיריכלה|פונקציות <math>L</math> של דיריכלה]], שהן גרסאות של פונקצית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם '''ערכים''' מרוכבים גם כאשר '''המשתנה''' שלהם ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הרחכי, אפשר להחליף אתו בשימוש ב[[פונקציות טריגונומטריות]], אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.

[[מכפלת אוילר]] נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסידרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה <math>a:\N \to \C</math> אפשר להגדיר גרסה ממוקשלת {{דרושה הבהרה|סיבה=ממושקלת?}}של פונקצית זטא של רימן באופן הבא:

לטורי דיריכלה עם פונקצית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים [[פונקציות L של דירכלה|פונקציות <math>L</math> של דיריכלה]]. עבור פונקציתפונקציות אלה מתקימת נוסחאתנוסחת המכפלה של אוילר:

מיכיוןכיוון שקרקטר דיריכלה הוא [[פונקציה מחזורית]] (תנאי 1) ניתן לראות בו כפונקציהפונקציה על ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הסופי <math>\Z|_m:=\Z/m\Z</math>. מכיוןכיוון שהוא מתאפס על האבריםהאיברים הלא [[איבר הפיך|הפיכים]] בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראתלראות בו כפונקציהפונקציה על [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] בחוג זה. חבורה זאת נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-<math>\Z|_m^\times</math>. מנקדת מבט זאת קרקטר דיריכלה הוא [[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר כיפלי]] של החבורה <math>\Z|_m^\times</math>. קרי הומומורפיזם מחבורה זאת לחבורה <math>\C^ \times:=\C\smallsetminus \{0\} </math>.

אוסף כל קרקטרים של חבורה <math>G</math> נקרהנקרא [[דואליות פונטריאגין|החבורה הדואלית]] של <math>G</math> ומסומן ב-<math>\widehat G</math>. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה מנושא <math>m</math> מסומן ב-<math>\widehat{\Z|_m^\times}</math>.