משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

נקבע קרקטר לא טריביאליטריוויאלי <math>\chi</math> בעל מחזור <math>m</math>.

ההיתכנסותההתכנסות (בתנאי) של הטור <math display="block">L(1,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n}=\lim_{s\to 1} L(s,\chi).</math> היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:

למעשה כלקל להסיק מלמה זאת גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.

| עבור כל קרקטר דיריכלה לא טריביאליטריוויאלי <math>\chi</math> מתקיים:

בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינינו טריביאליטריוויאלי כלל, משפט זה כלקל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי <math>\sum_{n=1}^N \frac{\chi(n)}{n}</math> עד ל <math>N</math> גדול מספיק כך שהערכה לשגיהלשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית <math>L</math> ב -1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהחרךבהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.

מיכיוןכיון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם נושא (conductor) נתון, טעוןטיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל נושא נתון באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצעהלבצע את החישוב עד ערכי <math>m</math> גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי <math>m</math> שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זאת.

פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של <math>\chi</math> לקומבינציה של קרקטרים אדיטביים באמצעות התמרת פוריה אדיטיבית. זאת אומרת פרוק של <math>\chi</math> ל[[קומבינציה ליניאריתלינארית]] של פונקציות מחזוריות <math>\psi_i</math> המקימותהמקיימות <math>\psi_i(k+l)=\psi_i(k)\psi_i(l)</math>. מקדמי פרוק זה הם [[סכומי גאוס]] המהווים סכומים סופיים. נותר לחשב את טורי דיריכלה <math>L(1,\psi_i)</math>. באמצעות

[[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]]. קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה.

אומנם הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה להוכיח את המשפט עבור נושא נתון, אבל היא לא מקלה על הוכחת המשפט במקרה הכללי, וההוכחות המקובלות למשפט דיריכלה לא משתמשות בה. אם זאת הנוסחה שימושית מאוד בתורת המספרים, לדוגמה לצורך חישוב [[מספר מחלקה|מספרי מחלקה]].}}