קרל פרידריך גאוס – הבדלי גרסאות

 
כאשר <math>N(a + bi) = a^2 + b^2</math> הוא ריבוע ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של המספר המרוכב, ו-<math>(\frac{\pi}{\sigma})_4</math> הוא [[סימן שארית החזקה]]
{{אנ|https://en.wikipedia.org/wiki/Power_residue_symbolPower residue symbol}} מסדר רביעי של <math>\pi</math> ביחס ל-<math>\sigma</math>, מעין הכללה של [[סימן לז'נדר]] שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו; לדוגמה, בראשון מבין המאמרים הללו, הוא הוכיח את ההשערה של אוילר שהמספר 2 הוא שארית דו-ריבועית של מספר ראשוני (''p'' &equiv; 1 (mod 4 [[אם ורק אם]] ''p'' = ''a''<sup>2</sup> + 64''b''<sup>2</sup>{{הערה|Gauss BQ §§ 14–21|כיוון=שמאל}}. באשר להוכחה מלאה של החוק, לא ברור כיצד הוכיח אותו לראשונה; גאוס טען כי מצא את ההוכחות למשפטים הכלליים של הדדיות ממעלה שלישית ורביעית בסביבות 1814, לאחר מאמצים רבים, אך מאמריו מ-1828 ו-1832 לא הכילו הוכחה מלאה. בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו ([[סכום גאוס ריבועי|סכומי גאוס]] ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר. הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של [[פרדיננד אייזנשטיין|אייזנשטיין]], אשר התבססה על שיטות דומות. כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן{{הערה|לסקירה היסטורית מקיפה על חוקי הדדיות כלליים, ראו גם: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein,p.200 - 202}}. הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין{{הערה|{{קישור כללי|כותרת=Tomio Kubota - Foundations of Class Field Theory.pdf|כתובת=https://www.docdroid.net/6V4rZJg/tomio-kubota-foundations-of-class-field-theory-pdf|שפה=en|תאריך_וידוא=2021-04-25|אתר=www.docdroid.net}}"A foundation of class field theory applying properties of spatial figures", Tomio Kubota (1995)|כיוון=שמאל}}.
 
ללא קשר לזהות בעל הקרדיט על ההוכחה הראשונה, המאמרים הללו זכורים בשל העושר והעומק של החקירות האריתמטיות שבאו בעקבותיהם – ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]], ו[[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה|דיריכלה]]. המאמר זכור גם כנקודת ציון מבחינת האופן שבו הוא שינה את תפיסתם של מתמטיקאים את המספרים המרוכבים, שעד אז נחשבו ל"פיקציות מטאפיזיות" בלבד; הוא משופע בדוגמאות ל"טענות אריתמטיות שמנצנצות בבהירות רבה יותר במסגרת האריתמטיקה המורחבת" (במילותיו של גאוס) ומכיל את אחד השימושים הרשמיים הראשונים בוויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).