תבנית ריבועית – הבדלי גרסאות

נוספו 5 בתים ,  לפני 9 חודשים
מ
תיקוני ניסוח ושגיאות כתיב.
מ (תיקוני ניסוח ושגיאות כתיב.)
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''תבנית ריבועית''' היא תבנית מהצורה <math>\ Q(x) = b(x,x)</math>, כאשר <math>b</math> היא [[תבנית ביליניארית]]; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2</math> היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה <math> x^2+yx+3x</math> לא, משום שהאיבר האחרון, <math>3x</math> הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופעיותמופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי [[איזומורפיזם]]), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2 = 1</math>) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה <math>\ x^2+8xy-4xz+5z^2 = 3</math>), והן מהוות נושא למחקר פורה.
 
==הגדרה==
יהי <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>. '''[[תבנית ביליניארית]]''' היא פונקציה <math>b \colon V \times V \to F</math> המהווה [[העתקה ליניארית]] בכל אחד מהרכיבים שלה. <math>(V,b)</math> נקרא '''מרחב ביליניארי'''. התבנית היא '''סימטרית''' אם <math> b(x,y)=b(y,x)</math> לכל <math>x,y \in V</math>.
 
'''תבנית ריבועית''' היא פונקציה המתקבלת מההצבה <math>Q(x) = b(x,x)</math> בתבנית ביליניארית <math>b</math>. תבנית כזו היא [[פולינום]] הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של <math>V</math>, הקרוי גם ה'''ממד''' של התבנית. צורתה הכללית היא <math>q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}{a_{i,j}x_ix_j}</math>, עם <math>a_{i,j} \in F</math>. הזוג <math>(V,q)</math> נקרא '''מרחב ריבועי'''.
 
אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם '''[[איזומטריה|איזומטריים]]''' אם קיים איזומורפיזם של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], המשמר את התבנית.
436

עריכות