קרל לודוויג זיגל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
|||
שורה 16:
עבודותיו של זייגל ב[[תורת המספרים]], [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]] ומכניקה שמיימית זיכו אותו בכמה פרסים. ב-1978 הוענק לו [[פרס וולף]] הראשון במתמטיקה, אחד מאותות ההוקרה הגבוהים ביותר בתחום. כאשר ועדת הפרס ביקשה לבחור את המתמטיקאי החי הגדול ביותר, הדיון סב סביב זייגל ו[[ישראל גלפנד]] כמועמדים המובילים. הפרס בסופו של דבר נחלק בין שניהם.
=== תורת המספרים ===
ב-1929 זייגל פרסם מאמר ארוך בשני חלקים, שאחדים מחשיבים כתרומתו המעמיקה והמקורית ביותר. במאמר הוא תרם תרומה חשובה לתאוריה של מספרים טרנסצנדטיים, וביסס טכניקות הוכחה חדשות לטרנסצנדטיות של מספרים מסוימים. חלקו הראשון של המאמר (שפורסם כמה שנים לפני שישראל גלפנד הוכיח את הטרנסצנדטיות של <math>e^{\pi}</math>) מכיל תוצאה חדשה לגמרי על מספרים טרנסצנדטיים: הוא הוכיח שאם <math>J_0</math> היא [[פונקציית בסל]] מאינדקס 0, אז <math>J_0(x)</math> היא טרנסצנדנטית בעבור כל [[מספר אלגברי|ערך אלגברי]] שונה מ-0 של ''x''.▼
▲זייגל הרחיב משמעותית את התאוריה של מספרים טרנסצנדנטיים, תחום שהיה מאוד לא מפותח בזמנו. ב-1929 זייגל פרסם מאמר ארוך בשני חלקים,
▲עבודתו של זייגל בתורת המספרים כוללת את המשפט שלו על קיומו של מספר סופי של נקודות שלמות על [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] מ[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] גדול מ-1; זו הייתה תוצאה כללית חשובה על משוואות דיופנטיות בתקופה בה התחום בכללותו היה לא מפותח, והיא התבססה על [[משפט מורדל-וייל]]. הוא עבד עם [[פונקציית L|פונקציות L]] וגילה את התופעה האנליטית של [[אפסי זייגל]].
הוא עסק רבות גם בתחום "הגיאומטריה של מספרים" (במובן של מינקובסקי), התאוריה של [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית זטא]] (הוא מצא תוצאות לא מוכרות ב[[נכלאס]] של [[ברנרד רימן]] והרחיב אותן), ועוד. במסגרת מחקרו על [[פונקציית L|פונקציות L]] הוא גילה את התופעה האנליטית של [[אפסי זייגל]]. מ-1935 ואילך, רוב מאמריו של זייגל בתורת המספרים עסקו בתורה האריתמטית של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] ב-''n'' משתנים. התאוריה פותחה על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']] ו[[קרל פרידריך גאוס]] עבור המקרים ''n=2'' ו-''n=3'', ותרומות למקרים פרטיים של התאוריה של תבניות ריבועיות במספר שרירותי של משתנים נעשו במהלך המאה ה-19 על ידי [[פרדיננד אייזנשטיין]], [[שארל הרמיט]], [[הנרי ג'ון סמית]] ו[[הרמן מינקובסקי]]. ניתן להחשיב את עבודתו של זייגל בנושא, שכוללת את ההצגה של נוסחת המסה של זייגל, לגולת הכותרת בתאוריה של תבניות ריבועיות ב-n משתנים. בעבודותיו האנליטיות על תבניות ריבועיות כלליות, זייגל ביסס עקרון חשוב לפיו היבטים אנליטיים שונים של התורה ניתנים לקביעה באמצעות חישוב הנפח של [[תחום יסודי|תחומים יסודיים]] (ביחס לאיזושהי הכללה של החבורה המודולרית) במרחב מממד שהוא מספר משתני התבנית הריבועית הנידונה.
יחד עם [[ריכרד בראואר]], זייגל מצא תוצאה חשובה על ההתנהגות האסימפטוטית של מספר המחלקות של שדות מספרים אלגבריים. יחד עם הנס היילברון, הוא הוכיח שמספר המחלקות של שדות ריבועיים דמיוניים מתבדר בעבור דיסקרימיננטות הולכות וגדלות, תוצאה ששוערה לראשונה על ידי גאוס. הוא תרם תרומות נוספות לבעיית מספר המחלקות של גאוס.
=== אנליזה מרוכבת ===
ב[[אנליזה מרוכבת]], זייגל תרם רבות לתאוריה הכללית של [[תבנית אוטומורפית|תבניות אוטומורפיות]], תורה שמאז זמנו של [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] לא התפתחה מעבר לטיפול בכמה מקרים פרטיים.
=== משוואות דיפרנציאליות ומכניקה שמיימית ===
אחרי תורת המספרים ואנליזה מרוכבת, התחום המתמטי המועדף עליו היה מכניקה שמיימית ומערכות המילטוניות. ספרו עב הכרס, "הרצאות על מכניקה שמיימית" שנכתב ביחד עם תלמידו יורגן מוזר, פורסם ב-1971. בעבודתו, זייגל חקר שאלות הנוגעות ל[[בעיית שלושת הגופים|בעיה התלת-גופית]] (או באופן כללי יותר לבעיית ''n'' הגופים), שאלות על הרגולריזציה של משוואות התנועה (ההיתכנות של התנגשויות בין הגופים הנידונים), הקיום של אינטגרלים אלגבריים למשוואות התנועה (בהמשך לעבודתו של Ernst Heinrich Bruns), שיפורים לתאוריה הירחית של Hill, הקיום של מסלולים קוואזי-רגולריים ויציבותם (במונחים של [[מערכת דינמית|מערכות דינמיות]], הדבר קשור לדיסק זייגל), שאלות על ההתכנסות של פונקציית ההפרעה ("בעיית המחלקים הקטנים"), כמו גם על הצורות הנורמליות של משוואות התנועה של המילטון בסמוך לנקודות שיווי משקל. ספרו על מכניקה שמיימית שהוזזכר מקודם, נחשב כעת לעבודה קלאסית ב[[תורת ההפרעות]] ותורת היציבות, והוא עזר להכין את הקרקע למשפט ''KAM'' (שנקרא על שם [[אנדריי קולמוגורוב|קולמוגורוב]], [[ולדימיר ארנולד|ארנולד]] ומוזר).
=== עמדתו הכללית ביחס להתפתחות המתמטיקה המודרנית ===
באופן די חריג יחסית למתמטיקאי בן המאה ה-20, זייגל היה ביקורתי כלפי הנטייה של המתמטיקה המודרנית להפשטה הולכת וגוברת ולאקסיומטיזציה של המתמטיקה. לטעמו, [[ניקולא בורבאקי|אסכולת בורבאקי]] היה ההתגלמות של "התפתחות קטסטרופלית", והצהיר כי העריך את "הבהירות והכנות" בעבודתם של מתמטיקאים גדולים מהעבר כמו גאוס ולגראנז'.
== עבודות מפורסמות ==
| |||