קרל לודוויג זייגל – הבדלי גרסאות

תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
עבודותיו של זייגל ב[[תורת המספרים]], [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]] ומכניקה שמיימית זיכו אותו בכמה פרסים. ב-1978 הוענק לו [[פרס וולף]] הראשון במתמטיקה, אחד מאותות ההוקרה הגבוהים ביותר בתחום. כאשר ועדת הפרס ביקשה לבחור את המתמטיקאי החי הגדול ביותר, הדיון סב סביב זייגל ו[[ישראל גלפנד]] כמועמדים המובילים. הפרס בסופו של דבר נחלק בין שניהם.
 
=== תורת המספרים ===
ב-1929 זייגל פרסם מאמר ארוך בשני חלקים, שאחדים מחשיבים כתרומתו המעמיקה והמקורית ביותר. במאמר הוא תרם תרומה חשובה לתאוריה של מספרים טרנסצנדטיים, וביסס טכניקות הוכחה חדשות לטרנסצנדטיות של מספרים מסוימים. חלקו הראשון של המאמר (שפורסם כמה שנים לפני שישראל גלפנד הוכיח את הטרנסצנדטיות של <math>e^{\pi}</math>) מכיל תוצאה חדשה לגמרי על מספרים טרנסצנדטיים: הוא הוכיח שאם <math>J_0</math> היא [[פונקציית בסל]] מאינדקס 0, אז <math>J_0(x)</math> היא טרנסצנדנטית בעבור כל [[מספר אלגברי|ערך אלגברי]] שונה מ-0 של ''x''.
עבודתותוצאתו המפורסמת ביותר של זייגל בתורת המספרים כוללת אתהיא המשפט שלו (1929) על קיומו של מספר סופי של נקודות שלמות על [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] מ[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] גדול מ-1; זו הייתה תוצאה כללית חשובה על משוואות דיופנטיות בתקופה בה התחום בכללותו היה לא מפותח. למשוואות ריבועיות (להן גנוס אפס), והיאלעומת התבססהזאת, עליש [[משפטבאופן מורדל-וייל]].טבעי הואמספר עבדאינסופי עםשל פתרונות, למשל במקרה של [[פונקצייתשלשה Lפיתגורית|פונקציותשלשות Lפיתגוריות]]. וגילההמשפט המכליל את התופעההתוצאה האנליטיתשל זייגל מן השלמים אל המספרים הרציונליים (שיש רק מספר סופי של נקודות רציונליות) נקרא [[אפסיהשערת זייגלמורדל]], והוא הוכח על ידי [[גרד פאלטינגס]].
 
זייגל הרחיב משמעותית את התאוריה של מספרים טרנסצנדנטיים, תחום שהיה מאוד לא מפותח בזמנו. ב-1929 זייגל פרסם מאמר ארוך בשני חלקים, שאחדיםשמתמטיקאים אחדים מחשיבים כתרומתו המעמיקה והמקורית ביותר. במאמר הוא תרם תרומה חשובה לתאוריה של מספרים טרנסצנדטיים, וביסס טכניקות הוכחה חדשות לטרנסצנדטיות של מספרים מסוימים. חלקו הראשון של המאמר (שפורסם כמה שנים לפני שישראל גלפנד הוכיח את הטרנסצנדטיות של <math>e^{\pi}</math>) מכיל תוצאה חדשה לגמרי על מספרים טרנסצנדטיים: הוא הוכיח שאם <math>J_0</math> היא [[פונקציית בסל]] מאינדקס 0, אז <math>J_0(x)</math> היא טרנסצנדנטית בעבור כל [[מספר אלגברי|ערך אלגברי]] שונה מ-0 של ''x''. שיטותיו פותחו ולוטשו על ידי ישראל גלפנד [[תאודור שניידר]], מה שהוביל בסופו של דבר ל[[משפט גלפונד-שניידר]], מן התוצאות המרכזיות בתחום.
עבודתו של זייגל בתורת המספרים כוללת את המשפט שלו על קיומו של מספר סופי של נקודות שלמות על [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] מ[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] גדול מ-1; זו הייתה תוצאה כללית חשובה על משוואות דיופנטיות בתקופה בה התחום בכללותו היה לא מפותח, והיא התבססה על [[משפט מורדל-וייל]]. הוא עבד עם [[פונקציית L|פונקציות L]] וגילה את התופעה האנליטית של [[אפסי זייגל]].
 
הוא עסק רבות גם בתחום "הגיאומטריה של מספרים" (במובן של מינקובסקי), התאוריה של [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית זטא]] (הוא מצא תוצאות לא מוכרות ב[[נכלאס]] של [[ברנרד רימן]] והרחיב אותן), ועוד. במסגרת מחקרו על [[פונקציית L|פונקציות L]] הוא גילה את התופעה האנליטית של [[אפסי זייגל]]. מ-1935 ואילך, רוב מאמריו של זייגל בתורת המספרים עסקו בתורה האריתמטית של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] ב-''n'' משתנים. התאוריה פותחה על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']] ו[[קרל פרידריך גאוס]] עבור המקרים ''n=2'' ו-''n=3'', ותרומות למקרים פרטיים של התאוריה של תבניות ריבועיות במספר שרירותי של משתנים נעשו במהלך המאה ה-19 על ידי [[פרדיננד אייזנשטיין]], [[שארל הרמיט]], [[הנרי ג'ון סמית]] ו[[הרמן מינקובסקי]]. ניתן להחשיב את עבודתו של זייגל בנושא, שכוללת את ההצגה של נוסחת המסה של זייגל, לגולת הכותרת בתאוריה של תבניות ריבועיות ב-n משתנים. בעבודותיו האנליטיות על תבניות ריבועיות כלליות, זייגל ביסס עקרון חשוב לפיו היבטים אנליטיים שונים של התורה ניתנים לקביעה באמצעות חישוב הנפח של [[תחום יסודי|תחומים יסודיים]] (ביחס לאיזושהי הכללה של החבורה המודולרית) במרחב מממד שהוא מספר משתני התבנית הריבועית הנידונה.
 
יחד עם [[ריכרד בראואר]], זייגל מצא תוצאה חשובה על ההתנהגות האסימפטוטית של מספר המחלקות של שדות מספרים אלגבריים. יחד עם הנס היילברון, הוא הוכיח שמספר המחלקות של שדות ריבועיים דמיוניים מתבדר בעבור דיסקרימיננטות הולכות וגדלות, תוצאה ששוערה לראשונה על ידי גאוס. הוא תרם תרומות נוספות לבעיית מספר המחלקות של גאוס.
בעבודותיו האנליטיות על תבניות ריבועיות כלליות, זייגל ביסס עקרון חשוב לפיו היבטים אנליטיים שונים של התורה ניתנים לקביעה באמצעות חישוב הנפח של [[תחום יסודי|תחומים יסודיים]] (ביחס לאיזושהי הכללה של החבורה המודולרית) במרחב מממד שהוא מספר משתני התבנית הריבועית הנידונה.
 
=== אנליזה מרוכבת ===
ב[[אנליזה מרוכבת]], זייגל תרם רבות לתאוריה הכללית של [[תבנית אוטומורפית|תבניות אוטומורפיות]], תורה שמאז זמנו של [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] לא התפתחה מעבר לטיפול בכמה מקרים פרטיים. בהקשרעבודתו זהזו הובילה אותו לפיתוח היריעות המודולריות של זייגל, אשר מתארות את התבניות המודולריות של זייגל (שהן האנלוג של [[תבנית מודולרית|התבניות המודולריות]] בעבור חצי המרחב העליון של זייגל). חצי המרחב העליון של זייגל, שזייגלשהוא הציג וטיפל בתכונותיו בפירוט ב-1939, מהווה מעין הכללה של חצי המישור העליון לממד גבוה מ-2. היריעות המודולריותהוא שלבחן זייגלגם את החבורות הבלתי רציפות העומדות ביסוד התחום, אשרכמו מתארותגם את התבניותהתחומים המודולריותהיסודיים שלהן, מה שלמעשה הכליל את התאוריה של זייגל,פונקציות גםמודולריות והחבורה המודולרית של הן[[פליקס ביןקליין]] תרומותיוורוברט בתחוםפריקה.
 
=== משוואות דיפרנציאליות ומכניקה שמיימית ===
אחרי תורת המספרים ואנליזה מרוכבת, התחום המתמטי המועדף עליו היה מכניקה שמיימית ומערכות המילטוניות. ספרו עב הכרס, "הרצאות על מכניקה שמיימית" שנכתב ביחד עם תלמידו יורגן מוזר, פורסם ב-1971, וכולל שיפורים לתאוריה הירחית של Hill, תרומות ל[[תורת ההפרעות]] ותורת היציבות, ועוד.
אחרי תורת המספרים ואנליזה מרוכבת, התחום המתמטי המועדף עליו היה מכניקה שמיימית ומערכות המילטוניות. ספרו עב הכרס, "הרצאות על מכניקה שמיימית" שנכתב ביחד עם תלמידו יורגן מוזר, פורסם ב-1971. בעבודתו, זייגל חקר שאלות הנוגעות ל[[בעיית שלושת הגופים|בעיה התלת-גופית]] (או באופן כללי יותר לבעיית ''n'' הגופים), שאלות על הרגולריזציה של משוואות התנועה (ההיתכנות של התנגשויות בין הגופים הנידונים), הקיום של אינטגרלים אלגבריים למשוואות התנועה (בהמשך לעבודתו של Ernst Heinrich Bruns), שיפורים לתאוריה הירחית של Hill, הקיום של מסלולים קוואזי-רגולריים ויציבותם (במונחים של [[מערכת דינמית|מערכות דינמיות]], הדבר קשור לדיסק זייגל), שאלות על ההתכנסות של פונקציית ההפרעה ("בעיית המחלקים הקטנים"), כמו גם על הצורות הנורמליות של משוואות התנועה של המילטון בסמוך לנקודות שיווי משקל. ספרו על מכניקה שמיימית שהוזזכר מקודם, נחשב כעת לעבודה קלאסית ב[[תורת ההפרעות]] ותורת היציבות, והוא עזר להכין את הקרקע למשפט ''KAM'' (שנקרא על שם [[אנדריי קולמוגורוב|קולמוגורוב]], [[ולדימיר ארנולד|ארנולד]] ומוזר).
 
=== עמדתו הכללית ביחס להתפתחות המתמטיקה המודרנית ===
באופן די חריג יחסית למתמטיקאי בן המאה ה-20, זייגל היה ביקורתי כלפי הנטייה של המתמטיקה המודרנית להפשטה הולכת וגוברת ולאקסיומטיזציה של המתמטיקה. לטעמו, [[ניקולא בורבאקי|אסכולת בורבאקי]] היה ההתגלמות של "התפתחות קטסטרופלית", והצהיר כי העריך את "הבהירות והכנות" בעבודתם של מתמטיקאים גדולים מהעבר כמו גאוס ולגראנז'.
 
== עבודות מפורסמות ==