הפרדוקס של בנך-טרסקי – הבדלי גרסאות

כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה-בחלקים, כלומר - שלקבוצות חופפות-בחלקים יהיה אותו שטח. באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת-הקבוצות של ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו-ממדיות '''במישור''' כן ניתן לעשות זאת). ב-1914 מצא האוסדורף ב[[חבורת המטריצות האורתוגונליות]] <math>\ \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math> תת-חבורה שהיא [[מכפלה חופשית]] <math>\ \mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_3</math> ולכן פועלת [[פעולה פרדוקסלית]] על הספירה (לאחר סילוק [[קבוצה בת מנייה|קבוצה בת-מניה]]).

את פרדוקס בנך-טרסקי ניתן לפרש ברוח זו כהעשרה משמעותית של אותה טענה: עבור <math>n \geq 3 </math>, אם מנסים להגדיר שוויון נפח בין תת-קבוצות של המרחב האוקלידי ה-<math>n</math>-ממדי, חייבים לקבל אחת מבין שלוש המגבלות הבאות:

[[קובץ:Cayley backward.gif|ממוזער|550px|הפירוק הפרדוקסלי של ''<math>F</math>'' מודגם על [[גרף קיילי]] שלה]]

* באופן דומה להוכחה של [[משפט קנטור שרדר ברנשטיין|משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] ניתן להראות שהיחס "''<math>A''</math> חופף-בחלקים לתת-קבוצה של ''<math>B''</math>" הוא [[סדר חלקי|יחס סדר חלקי]]. לכן אם נצליח להראות שכדור חופף-בחלקים ל-2 כדורים מאותו גודל (ומכאן שהוא חופף-בחלקים לכל מספר סופי של כדורים מאותו גודל), נוכל להראות שכל שתי קבוצות חסומות עם פנים לא ריק (כלומר, המכילות כדור וניתנות לכיסוי על ידי מספר סופי של כדורים מכל גודל נתון) הן חופפות-בחלקים זו לזו.

* מראים שב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] הסיבובים של ספירת היחידה, <math>\ SO_nmathrm{SO}_n(\mathbb R)</math>, ניתן למצוא [[חבורה חופשית|תת-חבורה חופשית]], ''<math>F''</math>, בשני יוצרים, ''<math>a''</math> ו-''<math>b''</math>.

* ניתן למצוא "פירוק פרדוקסלי" ל- ''<math>F</math>'', כלומר להציג אותה כאיחוד זר של חמש קבוצות:

כך שניתן להרכיב שני עותקים של <math>F</math> מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באיברים מ-<math>F </math>:

* אם מסירים מספירת היחידה את הקבוצה ([[קבוצה בת מנייה|בת המנייה]]) של [[נקודת שבת|נקודות השבת]] של ''<math>F</math>'' מתקבלת תת-קבוצה, ''<math>T''</math>, ש-''<math>F</math>'' פועלת עליה באופן חופשי - כלומר, שאף איבר מ-''<math>F</math>'', למעט איבר היחידה, אינו משאיר אף איבר מ-''T'' במקומו.

* על ידי בחירת קבוצת נציגים מכל אחד מה[[פעולת חבורה#מושגים|מסלולים]] שבהן ''<math>F</math>'' פועלת על ''<math>T''</math>, והפעלת הקבוצות מהפירוק הפרדוקסלי של ''<math>F</math>'' על קבוצת נציגים זו, מתקבל "פירוק פרדוקסלי" של ''<math>T''</math> - כלומר הצגה של <math>T</math> כאיחוד זר של חמש קבוצות, כך שמשני זוגות של קבוצות ניתן להרכיב עותק של ''<math>T''</math> על ידי הפעלת איזשהו סיבוב על הקבוצות.

* נותר רק להראות ש-''<math>T''</math> חופפת-בחלקים לכל הספירה (כלומר, שניתן להחזיר מספר בן מנייה של נקודות על ידי פירוק והרכבה מחדש של ''<math>T''</math>). כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הספירה. כעת, קל לחלק את הכדור כולו על ידי מתיחת קו ישר מכל נקודה בספירה למרכזה. כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור כולו, למעט המרכז. על ידי חפיפה-בחלקים אחרונה מוסיפים את הנקודה הזו, כך שמתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור לשני כדורים זהים, כנדרש.