משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|העובדה]] שישנם [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] היתה ידועה עוד ב[[יוון העתיקה]]. הווכחהההוכחה הראשונה הידועה שלה מופיעה בספר [[יסודות (ספר)|יסודות]] של [[אוקלידס]] עוד ב[[המאה השלישית לפני הספירה|מאה השלישית לפני הספירה]].

מספר עשורים לאחר מכן פתחפיתח [[ארטוסטנסארטוסתנס]] [[נפתהנפה ארטוסטנסשל ארטוסתנס|שיטה יעילה ליצור תבלאותטבלאות ראשוניים]], באמצאותהבאמצעותה ניתן היה להבחין בתבניות הקשורות להתפלגות המספרים הראשוניים.

במאה ה-18, חקר [[לאונרד אוילר]] את התפלגותם של מספרים ראשוניים. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי [[ברנהרד רימן|רימן]] ונקראה [[פונקציתפונקציית זטהזטא של רימן]]. פונקציה זאת היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות פונקציות L. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציתלפונקציית זטהזטא של רימן) היה תפקיד מחריעהמכריע בהוכחה של דירכלהדיריכלה.

אוילר גם פתחפיתח את [[מכפלת אוילר|נסחאתנוסחת המכפלה של אוילר]] עבור פונקציתפונקציית זטהזטא של רימן, נסחהנוסחה זאת נהיתההפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפתמשפט דריכלהדיריכלה בפרט.

טור כזה נקרא באופן כללי [[טור דיריכלה]]. בדרך כלל, לא יהיו לפונקציה זאת תכות טובות כמו לפונקציית זטהזטא של רימן. אולם עבור בחירות מסוימות של <math>a</math> יהיו לפונקציה זאת תכונות טובות לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה <math>a</math> היא [[קרקטר דיריכלה]].

אם <math>\chi</math> הוא הקרקטר הטריוויאלי אז <math>L(s,\chi)</math> דומה מאוד לפונקציית זטהזטא של רימן, ובפרט <math>L(1,\chi)=\infty</math>. לכן <math>\ln(L(1,\chi))=\infty</math>. כך שכדי להוכיח ש <math>P(1,\Phi_{a,m})=\infty</math> די להוכיח ש <math>\ln(L(s,\chi))</math> חסום בסביבת <math>s=1</math> עבור <math>\chi</math> לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש: <math display="block">L(1,\chi)\neq 0,\infty</math>

[[קובץ:Integral vs. sum.webm|שמאל|ממוזער|400px|אנימציה המדגימה איך לחסום ההפרש בין [[פונקציית זטהזטא של רימן]] והאינטגרל <math display="block">\int_1^\infty \frac{1}{x^s}dx =\frac{1}{s-1}.</math>]]

כמו כן, על ידי השוואת פונקציית זטהזטא של רימן לאינטגרל <math display="block">\int_1^\infty \frac{1}{x^s}dx </math> קל להראות כי <math display="block">\lim_{s\to 1} \left|\zeta(s)(s-1)\right |<\infty.</math> לכן <math display="block">\lim_{s\to1}\left|\zeta(s)L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)\right|=\lim_{s\to1}\left|\zeta(s)(s-1)\frac{L(s,\chi_1)}{s-1}\frac{L(s,\chi_2)}{s-1}(s-1)\right|=0

ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית <math>k</math>, תתפוס ההרבחה הציקולטומית <math>\Q\langle\sqrt[m]{1}\rangle</math>. פונקציתפונקציית זטהזטא של דדקינד של הרחבה זאת נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה <math>\zeta_m(s)</math> שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה-<math>L</math> של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה <math>m</math>. טענה זאת נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים בחוג דדקינד, בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זאת פשוטה יותר מכיוון שאננה משתמשת ב[[הדדיות ריבועית]]. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת ב[[סכום גאוס ריבועי|סכום גאוס]] המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית להרחבה ציקלוטומית. כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.

כדי להשלים את הוכחה בגישה זאת, נותר להראות שפונקציתשפונקציית זטהזטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב <math>s=1</math>. למעשה פונקציית זטהזטא של דדקינד של כל [[שדה מספרים]] מתבדרת ב <math>s=1</math>. ההוכחה של טענה זאת דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח [[משוואת פל]] יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את [[משפט היחידות של דיריכלה]].

גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטהזטא של דדקינד ב <math>s=1</math>. ספציפית עבור כל שדה מספרים <math>k</math> אפשר להביע את הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> באמצעות מספר המחלקה של <math>k</math> ואינווריאנטים נומריים נוספים של <math>k</math>. קשר זה נרקא נוסחת המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> איננו ערך של פונקציתפונקציית <math>L</math> מסוימת. אולם אם <math>k</math> הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה