משפט בליכפלדט – הבדלי גרסאות

הוסרו 6 בתים ,  לפני חודשיים
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד
המשפט ניתן לניסוח בצורה הפשוטה ביותר בעבור קבוצת נקודות במישור האוקלידי. בעבור גרסה זו של המשפט, תהי <math>S</math> [[מידה (מתמטיקה)|קבוצה מדידה]] כלשהי, ויהי <math>A</math> שטחה, אז נעגל את המספר הזה כלפי מעלה אל הערך השלם הקרוב ביותר <math>n=\lceil A\rceil </math> (פונקציית התקרה). משפט בליכפלדט קובע ש-<math>S</math> ניתנת להזזה כך שהעותק המוזז שלה מכיל לפחות <math>n</math> נקודות עם קואורדינטות שלמות.
 
הרעיון הבסיסי של ההוכחה הוא לחתוך את <math>S</math> לחתיכות על פי הריבועים של הסריג, ואז להזיז את כל אחת מהחתיכות הללו בוקטור שלם כך שהיא תימצא בתוך ריבוע היחידה אשר ראשית הצירים היא הפינה הימנית התחתונה שלו. ההזזה הזו עשויה לגרום לנקודות מסוימות להיות מכוסות יותר מפעם אחת, אך עםאם מחשבים את סכום השטחים של האיזורים השונים נספרים תוך כדי שקלול הריבוי שלהם, אז השטח הכולל של הקבוצה נשאר ללא שינוי, ושווה ל-<math>A</math>. כדי להוכיח את המשפט, מספיק להוכיח שיש נקודה עם ריבוי <math>n</math>. לשם כך, נניח בשלילה שכל נקודות ריבוע היחידה הן בעלות ריבוי של לכל היותר <math>n-1</math>. אם זה כך, פירוש הדבר הוא ששטח הקבוצה הוא לכל היותר <math>n-1</math>, פחות מ-<math>A</math>. לפיכך, נקודה כלשהי <math>p</math> בריבוע היחידה חייבת להיות מכוסה בריבוי של לפחות <math>n</math>. הזזה שתיקח את <math>p</math> לראשית תיקח גם את <math>n</math> הנקודות של <math>S</math> שכיסו את <math>p</math> לנקודות שלמות (נקודות סריג), וזה מה שנדרש.
 
באופן כללי יותר, המשפט תקף לקבוצות <math>d</math>-ממדיות <math>S</math>, עם נפח <math>d</math> ממדי <math>A</math>, ולסריג <math>d</math>-ממדי שרירותי <math>\Lambda</math>. בדיוק כשם שסריג היחידה הריבועי מחלק את המישור לריבועי יחידה, סריג שרירותי מחלק את המרחב לתחומים יסודיים (הנקראים [[מקבילון|מקבילונים]] יסודיים) עם התכונה שכל אחד מהתחומים האלו ניתן להזזה אל כל אחד מהאחרים על ידי חיבור של וקטור שלם. אם <math>L</math> הוא הנפח ה-<math>d</math>-ממדי של המקבילון היסודי, אז משפט בליכפלדט קובע ש-<math>S</math> ניתנת להזזה כך שהיא תכלול לפחות <math>\lceil A/L\rceil</math> נקודות של <math>\Lambda</math>.