החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הוקטורייםהווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הוקטוריהווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של V ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ GL_n (F)</math> או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השניההשנייה - <math>\ GL(V)</math>.

המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כמו לדוגמהכגון קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.