החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

מ
בוט החלפות: שנייה$1; הווקטור; כגון;
מ (רובוט מוסיף: de, eo, es, fr, it, pl, zh)
מ (בוט החלפות: שנייה$1; הווקטור; כגון;)
ב[[תורת החבורות]], החבורה הלינארית הכללית ממעלה n מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] בעלות n שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה F, יחד עם פעולת [[כפל מטריצות]]. זוהי [[חבורה]] שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. [[תת חבורה]] של החבורה הלינארית הכללית נקראת '''חבורה לינארית''' או בפשטות [[חבורת מטריצות]].
 
באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הוקטורייםהווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הוקטוריהווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של V ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ GL_n (F)</math> או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השניההשנייה - <math>\ GL(V)</math>.
 
המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כמו לדוגמהכגון קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.
 
החבורה הלינארית הכללית אינה [[חבורה אבלית|אבלית]], כל עוד n איננו 1. כאשר n=1, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה F.
271,876

עריכות