אי-תלות אלגברית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ אופס |
תוספות, הוכחה שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי |
||
שורה 7:
:<math>\,p(\sqrt{\pi},2\pi+1)=0</math>.
לעיתים קרובות ניתן להשתמש ב[[משפט לינדמן-ויירשטראס]] על מנת להוכיח כי קבוצה מסויימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט טוען כי אם <math>\,\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> הם [[מספר אלגברי|מספרים אלגברים]] [[תלות לינארית|בלתי תלויים לינארית]] מעל <math>\,\mathbb{Q}</math> אז המספרים <math>\,e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}</math> הם בלתי תלויים אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.▼
השאלה האם הקבוצה <math>\,\{\pi,e\}</math> היא תלויה אלגברית היא [[בעיה פתוחה במתמטיקה]].
ב[[1996]] הוכיח נטרנסקו כי הקבוצה <math>\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\}</math> היא בלתי תלויה אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.
==משפט לינדמן ויירשטראס==
▲לעיתים קרובות ניתן להשתמש
===שימוש במשפט להוכחה כי <math>\pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]===
נניח בשלילה כי <math>\pi</math> הוא מספר אלגברי. כיוון שגם i הוא מספר אלגברי, הרי שגם <math>\pi i</math> הוא מספר אלגברי (שכן קבוצת המספרים האלגברים סגורה תחת כפל). לכן, על פי משפט לינדמן ויירשטראס, המספר <math>\,e^{\pi i} = -1</math> ([[זהות אוילר]]) הוא טרנסצנדנטי, אך זהו בבירור מספר אלגברי. קיבלנו סתירה, ולפיכך <math>\pi</math> הוא טרנסצנדנטי.
[[קטגוריה: אלגברה]]
| |||