[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''התחום''' של [[פונקציה]] הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] כל הקלטיםה[[ארגומנט של פונקציה|קלטים]] המתקבלים על ידי הפונקציה. לפעמיםעבור הוא מסומן בפונקציה <math> \operatorname{dom}(f )</math> , כאשרנהוג לסמן את התחום שלה ב-<math>\operatorname{dom}(f)</math> היא הפונקציה. ▼
== הגדרה ==
[[קובץ:Codomain2.SVG|שמאל|ממוזער|250x250 פיקסלים| פונקציה {{Mvar|f}} מ- {{Mvar|X}} עד {{Mvar|Y}} קבוצת הנקודות בסגלגל האדום {{Mvar|X}} היא התחום של {{Mvar|f}} .]]
ליתר דיוק, נתונה פונקציה <math>f\colon X\to Y</math>, התחום של {{נוסחה|''<math>f ''}}</math> הוא {{נוסחה|''<math>X ''}} </math>. שימו לב שבשפה המתמטית המודרנית, התחום הוא חלק מההגדרה של [[פונקציה ]] ולא מאפיין שלה. ▼[[קובץ:Square_root_0_25.svg|ממוזער|250x250 פיקסלים| גרף של פונקציית [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] בעל הערך האמיתי, ''f'' ( ''x'' ) = √ x, שהתחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים הלא שליליים]]
▲[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''התחום''' של [[פונקציה]] הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] כל הקלטים המתקבלים על ידי הפונקציה. לפעמים הוא מסומן ב <math>\operatorname{dom}(f)</math>, כאשר <math>\operatorname{dom}(f)</math> היא הפונקציה.
במקרה המיוחד ש- {{נוסחה|''X''}} ו- {{נוסחה|''Y''}} הן שתי [[תת-קבוצה|תתי-קבוצות משנה]] של <math>\R</math>, ניתן לצייר גרף של הפונקציה {{נוסחה|''<math>f ''}}</math> ב[[מערכת צירים קרטזית |במערכת הקואורדינטות הקרטזית]]. במקרה זה, התחום מיוצג על ציר ה- {{נוסחה|''<math>x ''}}</math> של הגרף, כהשלכהכ[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]] של גרף הפונקציה על ציר ה- {{נוסחה|''<math>x ''}}</math>. ▼▲ליתר דיוק, נתונה פונקציה <math>f\colon X\to Y</math>, התחום של {{נוסחה|''f''}} הוא {{נוסחה|''X''}} . שימו לב שבשפה המתמטית המודרנית, התחום הוא חלק מההגדרה של פונקציה ולא מאפיין שלה.
בפונקציה <math>f\colon X\to Y</math> הקבוצה <math>Y</math> נקראת טווח, וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת התמונה. התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם הן שוות אז <math>f</math> היא [[פונקציה על]].
▲במקרה המיוחד ש- {{נוסחה|''X''}} ו- {{נוסחה|''Y''}} הן שתי קבוצות משנה של <math>\R</math>, ניתן לצייר גרף של הפונקציה {{נוסחה|''f''}} [[מערכת צירים קרטזית|במערכת הקואורדינטות הקרטזית]]. במקרה זה, התחום מיוצג על ציר ה- {{נוסחה|''x''}} של הגרף, כהשלכה של גרף הפונקציה על ציר ה-{{נוסחה|''x''}}.
ניתן להגביללצמצם כל פונקציה לקבוצתלתת משנהקבוצה של התחום שלה. ההגבלהאם <math>A\subseteq X</math> ה[[צמצום פונקציה|צמצום]] של <math>f \colon X \to Y</math> ל -<math>A</math>, איפה <math>A\subseteq X</math> , נכתבייכתב ככך: <math>\left. f \right|_A \colon A \to Y</math> . ▼בשביל פונקציה <math>f\colon X\to Y</math>, קבוצת {{נוסחה|''Y''}} נקראת codomain, וקבוצת הערכים שהפונקציה משיגה (שהיא תת-קבוצה של {{נוסחה|''Y''}} ) נקראת הטווח או התמונה שלה .
▲ניתן להגביל כל פונקציה לקבוצת משנה של התחום שלה. ההגבלה של <math>f \colon X \to Y</math> ל <math>A</math>, איפה <math>A\subseteq X</math>, נכתב כ <math>\left. f \right|_A \colon A \to Y</math> .
אם [[פונקציה אמיתיתממשית]] {{Mvar|<math>f }}</math> ניתנת על ידי נוסחה, ייתכן שהיא [[לא מוגדר|לא מוגדרת ]] עבור חלק מהערכים של המשתנה. במקרה זה, מדובר ב[[פונקציה חלקית|בפונקציה חלקית]], וקבוצת המספרים הממשיים שעליה ניתן להעריך את הנוסחה למספר ממשי נקראת '''התחום הטבעי''' או '''תחום ההגדרה''' של {{Mvar|<math>f }} </math>. בהקשרים רבים, פונקציה חלקית נקראת פשוט ''פונקציה '', והתחום הטבעי שלה נקרא פשוט ''התחום '' שלה. ▼
▲אם פונקציה אמיתית {{Mvar|f}} ניתנת על ידי נוסחה, ייתכן שהיא לא מוגדרת עבור חלק מהערכים של המשתנה. במקרה זה, מדובר [[פונקציה חלקית|בפונקציה חלקית]], וקבוצת המספרים הממשיים שעליה ניתן להעריך את הנוסחה למספר ממשי נקראת '''התחום הטבעי''' או '''תחום ההגדרה''' של {{Mvar|f}} . בהקשרים רבים, פונקציה חלקית נקראת פשוט ''פונקציה'', והתחום הטבעי שלה נקרא פשוט ''התחום'' שלה.
=== דוגמאות ===
* הפונקציה <math>f</math> מוגדרהמוגדרת על ידי <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> לא ניתןמוגדרת להעריךכאשר ב-<math>x=0</math>. לכן התחוםתחום הטבעיההגדרה של <math>f</math> הוא קבוצת המספריםה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] למעט <math>0</math>, שניתןניתן לסמן בזאת <math>\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}</math> אוֹאו <math>\{x\in\mathbb R: |\ x\ne 0\}</math> .
* ה[[פונקציה מפוצלת|פונקציה המפוצלת]] <math>f</math> המוגדרת על ידי <math>f(x) = \begin{cases}
1/x&x\not=0\\
0&x=0
\end{cases},</math> ישתחום לתחוםההגדרה הטבעיקבוצת אתהמספרים הסטהממשיים (<math>\mathbb{R}</math> של מספרים ממשיים).
* פונקציית [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] <math>f(x)=\sqrt x</math> יש לתחוםאת הטבעיתחום אתההגדרה של קבוצת המספרים הממשיים הלאהאי שליליים, אותם ניתן לסמןהמסומנת על ידי <math>\mathbb R_{\geq 0}</math>, המרווחאו ה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] <math>[0,\infty)</math>, או הקבוצה <math>\{x\in\mathbb R:|\ x\geq 0\}</math> .
* ל[[פונקציות טריגונומטריות|הפונקציהפונקציה הטריגונומטרית]] המשיקת, מסומנת <math>\tan (x)</math>, יש כתחוםאת הטבעיתחום ההגדרה שלו קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה <math>\tfrac{\pi}{2} + k \pi</math> עבור <math>k</math> מספר [[מספר שלם|שלם]] כלשהו <math>k</math>, שאפשר לכתוב בתור <math>\mathbb R \setminus \{\tfrac{\pi}{2}+k\pi: k\in\mathbb Z\}</math> .
== שימושים אחרים ==
המילה "תחום" משמשת עם משמעויות קשורות אחרות בחלק מתחומי המתמטיקה. [[טופולוגיה|בטופולוגיה]], תחום הוא קבוצה [[קבוצה פתוחה|פתוחה]] [[מרחב קשיר|קשירה]] . <ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Domain|url=https://mathworld.wolfram.com/Domain.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> באנליזה ממשית ואנליזה מרוכבת תחום הוא תת-קבוצה [[קבוצה פתוחה|פתוחה]] [[מרחב קשיר|קשירה]] של [[מרחב וקטורי]] [[מספר ממשי|ממשי]] או [[מספר מרוכב|מרוכב]]. במחקר של [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות דיפרנציאליות חלקיות]], תחום הוא תת-הקבוצה הפתוחה קשירה של [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^{n}</math> היכן נוצרת בעיה (כלומר, היכן מוגדרות הפונקציות הלא ידועות).
== קבע מושגים תיאורטיים ==
לדוגמה, לפעמים נוח [[תורת הקבוצות|בתורת הקבוצות]] לאפשר לתחום של פונקציה להיות [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה נכונה]] {{Mvar|X}}, ובמקרה זה אין דבר כזה באופן פורמלי כמו משולש {{נוסחה|(''X'', ''Y'', ''G'')}} . עם הגדרה כזו, לפונקציות אין תחום, אם כי חלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא פורמלי לאחר הצגת פונקציה בצורה {{נוסחה|''f'': ''X'' → ''Y''}} . <ref>{{Harvnb|Eccles|1997}}, p. 91 ([{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=The reader may wonder at this variety of ways of thinking about a function}} quote 1], [{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=When defining a function using a formula it is important to be clear about which sets are the domain and the codomain of the function}} quote 2]); {{Harvnb|Mac Lane|1998}}, [{{Google books|plainurl=y|id=MXboNPdTv7QC|page=8|text=Here "function" means a function with specified domain and specified codomain}} p. 8]; Mac Lane, in {{Harvnb|Scott|Jech|1967}}, [{{Google books|plainurl=y|id=5mf4Vckj0gEC|page=232|text=Note explicitly that the notion of function is not that customary in axiomatic set theory}} p. 232]; {{Harvnb|Sharma|2004}}, [{{Google books|plainurl=y|id=IGvDpe6hYiQC|page=91|text=Functions as sets of ordered pairs}} p. 91]; {{Harvnb|Stewart|Tall|1977}}, [{{Google books|plainurl=y|id=TLelvnIU2sEC|page=89|text=Strictly speaking we cannot talk of 'the' codomain of a function}} p. 89]</ref> ▼
== ראו גם ==
== תורת הקבוצות ==
* תחום תכונה
▲לדוגמה, לפעמים נוח [[תורת הקבוצות|בתורת הקבוצות]] לאפשר לתחום של פונקציה להיות [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה נכונהנאותה]] {{Mvar|X}} ,. ובמקרהבמקרים זהאלו אין דבר כזה באופןכמו פורמלי כמוהשלשה משולשהסדורה {{נוסחה|(''X'', ''Y'', ''G'')}} . עם הגדרה כזו, לפונקציות אין תחום, אם כי חלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא פורמלי לאחר הצגת פונקציה בצורהמהצורה {{נוסחה|''f'': ''X'' → ''Y''}} . <ref>{{Harvnb|Eccles|1997}}, p. 91 ([{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=The reader may wonder at this variety of ways of thinking about a function}} quote 1], [{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=When defining a function using a formula it is important to be clear about which sets are the domain and the codomain of the function}} quote 2]); {{Harvnb|Mac Lane|1998}}, [{{Google books|plainurl=y|id=MXboNPdTv7QC|page=8|text=Here "function" means a function with specified domain and specified codomain}} p. 8]; Mac Lane, in {{Harvnb|Scott|Jech|1967}}, [{{Google books|plainurl=y|id=5mf4Vckj0gEC|page=232|text=Note explicitly that the notion of function is not that customary in axiomatic set theory}} p. 232]; {{Harvnb|Sharma|2004}}, [{{Google books|plainurl=y|id=IGvDpe6hYiQC|page=91|text=Functions as sets of ordered pairs}} p. 91]; {{Harvnb|Stewart|Tall|1977}}, [{{Google books|plainurl=y|id=TLelvnIU2sEC|page=89|text=Strictly speaking we cannot talk of 'the' codomain of a function}} p. 89]</ref> .
* בזריקה, הזרקה והזרקה
* קודומיין
* פירוק תחום
* תחום אפקטיבי
* תמונה (מתמטיקה)
* תחום ליפשיץ
* [[תורת הקבוצות הנאיבית|תורת קבוצות נאיבית]]
* [[תומך (מתמטיקה)|תמיכה (מתמטיקה)]]
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]
| 