פונקציית בסיס 13 של קונוויי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קישור לתחום ההגדרה |
מ clean up, replaced: [[תחום ההגדרה ← [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה |
||
שורה 2:
==מבוא==
פונקציות רציפות נתפסות באופן אינטואיטיבי (ולא מדויק) כפונקציות שניתן לצייר את ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלהן בלי להרים את העפרון מהדף. לפי תפיסה אינטואיטיבית זו, אם פונקציה רציפה מקבלת בשתי נקודות שונות שני ערכים שונים, אז בדרכה מערך אחד לאחר היא תעבור גם דרך כל ערך שביניהם. זהו אכן התוכן של [[משפט ערך הביניים]]. נשאלת השאלה האם גם הכיוון ההפוך נכון: האם פונקציה העוברת בדרכה מערך אחד לאחר דרך כל ערך שביניהם, היא בהכרח רציפה?
בניסוח מתמטי מגדירים פונקציה <math>f</math> כ"פונקציית [[ז'אן גסטון דארבו|דארבו]]" אם לכל שתי נקודות <math>a</math> ו-<math>b</math> המקיימות <math>f(a)<f(b)</math> ולכל <math>r</math> המקיים <math>\ f(a)<r<f(b)</math> קיים <math>c</math> בין <math>a</math> ל-<math>b</math> כך ש-<math>\ f(c)=r</math>. בעזרת מושג זה ניתן לנסח את משפט ערך הביניים בתור הטענה "כל פונקציה רציפה היא פונקציית דארבו". השאלה שנוסחה קודם היא למעשה השאלה "האם כל פונקציית דארבו היא פונקציה רציפה?" התשובה לשאלה שלילית. לפי [[משפט דארבו]] כל פונקציה שיש לה [[פונקציה קדומה]] (כלומר היא ה[[נגזרת]] של פונקציה כלשהי) היא פונקציית דארבו, אף שישנן פונקציות שיש להן פונקציה קדומה והן אינן רציפות.
שורה 17:
==תכונות==
הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי בכל קטע המוכל ב[[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה]] שלה. אכן, יהי <math>[c,d] \subseteq (0,1)</math> קטע (המכיל יותר מנקודה אחת), ויהי <math> r \in \mathbb{R} </math> מספר ממשי. נבנה <math>c<e<d</math> כך ש-<math>f(e)=r</math>. נייצג את <math>c,d</math> בבסיס 13 ואת <math>r</math> בבסיס עשרוני:
:<math>\ r=\pm A_1A_2 \ldots A_n . B_1B_2 \ldots;\ \ c=0.X_1X_2 \ldots X_mC_1C_2 \ldots;\ \ d=0.X_1X_2 \ldots X_mD_1D_2 \ldots </math>
כאשר <math>X_i</math> הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של <math>c</math> ו-<math>d</math> (אם ישנם כאלו). נשים לב כי קיים <math>N>1</math> כך ש-<math>C_N \ne D</math> (כי נמנענו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על <math>D</math>). עתה נבנה את <math>e</math>:
:<math>\ e=0.X_1X_2 \ldots X_mC_1C_2 \ldots C_{N-1}D S^\pm A_1 A_2 \ldots A_n D B_1 B_2 \ldots </math>
<math>e</math> קטן מ-<math>d</math> כי הייצוג שלו זהה לשל <math>d</math> עד הנקודה בה מתקיים <math>D_1>C_1</math> (מכיוון ש-<math>d>c</math>), והוא גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים <math>C_N < D</math>. לפי הגדרת הפונקציה, התמונה של <math>e</math> היא <math>f(e)=\pm A_1A_2 \ldots A_n . B_1B_2 \ldots = r</math>, כפי שרצינו. מכאן נובעת מיד תכונת דארבו, והפונקציה אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה: היא מקבלת ערכים לא חסומים בכל [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]].
===התומך===
| |||