אינטגרל רימן – הבדלי גרסאות

חלוקה <math>P</math> של קטע <math>[a,b]</math> היא רצף סופישל <math>n</math> נקודות ב-<math>[a,b]</math> המקיימות: <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b</math>. כל <math>[x_i,x_{i+1}]</math> נקרא '''תת-קטע''' של מספריםהחלוקה. מהצורה

תהי <math>f</math> פונקציה ממשית על הקטע <math>[a,b]</math>. סכום רימן של <math>f</math> ביחס לחלוקה המיוצגת על <math>x_0,\dots,x_n</math> יחד עם בחירת נקודות <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> כאשר <math>t_i \in [x_i,x_{i+1}]</math> הוא <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books/about/Real_Analysis_and_Foundations.html?id=OI-0vu1rb7MC&pg=PA173|title=Real Analysis and Foundations|last=Krantz|first=Steven G.|publisher=CRC Press|year=1991|page=173|author-link=Steven G. Krantz}}</ref> <math>\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \left(x_{i+1}-x_i\right)</math>.

לפי הגדרת רימן, פונקציה <math>f</math> אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> אם קיים <math>\ I</math>ממשי כך שלכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל חלוקה <math>P</math> של הקטע המקיימת <math>\lambda (P) \le \delta</math> כל סכום רימן <math>S</math> המתאים לאותה חלוקה מקיייםמקיים <math>\mid S-I \mid<\varepsilon</math>. במידה וקיים <math>\ I</math>העומד בדרישות אלו ניתן להוכיח שהוא יחיד, וערך האינטגרל של <math>f</math> ב-<math>[a,b]</math>מוגדר להיות <math>I</math> (כלומר <math>\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x := I</math>).