|
לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית <math>S_n</math>. ההוכחה מבוססת על [[פעולת חבורה|פעולה נאמנה]] הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו [[משפט קיילי#הוכחת המשפט|להלן]]).
למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם ה'''עידון של משפט קיילי''': אם ל-<math>G</math> יש תת-חבורה <math>H</math> מאינדקס <math>n</math>, אז יש העתקה <math>\psi \colon G\rightarrow S_n</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה מוכלהוא הליבה של ב-<math>H</math>.: נובע מזה שלחבורה עםחיתוך תת-חבורההחבורות מאינדקסשל <math>nG</math> מוכרחה להיות [[תת חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק אתהצמודות ל-<math>n!H</math>, כידהיינו, אנחנו נקבל לפי משפט [[משפטי האיזומורפיזם|האיזומורפיזם]] הראשון ש-<math>G/ker(\psi )bigcap_{g\congin Im(\psi)\leqG} S_ngHg^{-1}</math>. בפרט:הוכחת אםהעידון נסתכלמתקבלת עלמניתוח [[חבורההפעולה פשוטה|החבורותשל הפשוטות]] ,שהן לא צקליות מסדר ראשוני, מכיוון ש-<math>ker(\psi)\triangleleft G</math> על אזאוסף הגרעיןהמחלקות טריוויאלי, ולכן נקבל<math>G\cong Im(\psi)\leq S_n</math> ,(כי אם <math>ker(\psi) \cong G </math> אז <math>H</math> נורמליתעל ולכןידי טריוויאלית,כפל והטענה טריוויאלית ) אםמשמאל: <math>G</math>g מסדר\colon שאינוxH מחלק את <math>n!</math>, אז <math>G\congmapsto Im(\psi)\leq S_n</math> לא יכול להתקיים, ולכן אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-<math>ngxH</math>.
מסקנה מיידית ממשפט העידון של קיילי הוא שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס <math>n</math> מוכרחה להיות [[תת חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק את <math>n!</math>. אכן, לפי משפט [[משפטי האיזומורפיזם|האיזומורפיזם]] הראשון נקבל כי <math>G/\text{Ker}\ \psi\cong \text{Im}\ \psi \leq S_n</math>, ולכן <math>[G\colon \text{Ker}] = |\text{Im}\ \psi|\ |\ |S_n|=n!</math>. בפרט, [[חבורה פשוטה]] לא-[[חבורה אבלית|אבלית]] המכילה תת-חבורה מאינדקס <math>n</math> משוכנת ב-<math>S_n</math> ולכן הסדר שלה מחלק את <math>n!</math>.
את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של <math>G</math> על אוסף המחלקות <math>G/H</math> (גם כאשר אוסף זה אינו [[חבורת מנה]]), על ידי כפל משמאל: <math>g : xH \mapsto gxH</math>. הפעולה הזו אינה בהכרח [[פעולת חבורה|נאמנה]]: אוסף האיברים הפועלים [[פעולת חבורה|טריוויאלית]] שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל-<math>H</math>, אוסף זה נקרא [[ליבה (תורת החבורות)|הליבה]] של <math>H</math>.
==דוגמה==
|
