פנקס חד-פעמי – הבדלי גרסאות

הסיבה לשימוש ב-XOR במקום [[פעולה בינארית]] אחרת כמו [[OR]] או [[AND]], נובעת מהעובדה ש-XOR משמר אקראיות. אפשר להוכיח זאת בכמה דרכים, אבל מספיק להתבונן בטבלת האמת של XOR ולראות שהיא מכילה בדיוק 50% אפס ו-50% אחד, לעומת הפעולות OR ו-AND בהן היחס הוא 1 ל-3. כלומר התפלגות התוצאות של פעולת חיבור סיביות מודולו 2 אחידה.

קל להבין זאת במקרה של סיבית בודדת. אם נתון [[משתנה מקרי]] <math>Y</math> מעל <math>\{0,1\}</math> בהתפלגות שאינה בהכרח אחידה, כלומר הסיכויים שיתקבל "0" הם <math>p_0</math> והסיכויים שיתקבל "1" הם <math>p_1</math>, כאשר <math>p_0+p_1=1</math>, ונניח שנתון משתנה מקרי בלתי תלוי <math>X</math> בהתפלגות אחידה (סיכויים של <math>1/2</math> לאפס או אחד כמו ב[[הטלת מטבע]]). אפשר לראות שההסתברות ש-<math>Z=X\oplus Y</math> שווה "0" שווה להסתברות ש-<math>(x,y)=(0,0)</math> ועוד ההסתברות ש-<math>(x,y)=(1,1)</math> (כי לפי [[טבלת אמת|טבלת האמת]] של XOR רק בשני מקרים אלו התוצאה תהיה אפס). במקרה הראשון למשל ההסתברות היא <math>p_0</math> כפול <math>1/2</math>. בחשבון פשוט יוצא אם כך ש-<math>\textstyle\frac{p_0}{2}+\frac{p_1}{2}=1/2</math>. כלומר לא משנה מה הייתה ההתפלגות של <math>Y</math>, התוצאה <math>Z</math> תתפלג תמיד באופן אחיד.